Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

ТЕОРЕМА. Ьоли Ч 9 - гомоморфизм группы Вп при 3 ,4 на груш у А * В , причем |А| 2 , то |А| = 3 , I В( = 2 , то есть А * В ~ < а , е Н а * * /, <?■*„/.> ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проведем докаэательотво по той же схеме по которой ведется доказательство леммы I в [ а ] . Воспользуем­ ся следующим представлением группы В : < a , ¿ i l a n= e n- [ { [ é M , G Í ( r h ) a / j ~ i \ > пусть v’ - гомоморфизм группы ь п ( п * 3 , 4 ) на группу О- ■= А * 3 и |А|^ |В|^ 2 . Пусть с = т ) , . Рлементы С н d порождают группу (? . Так как а * » * ? " ' - централь­ ный элемент группы В^Х. то c n= d n'1- центральный элемент груп- пы А * по--™«у с пч , с г г < г значят с и d 00 ы не_ которым элементам г1Э д или В. Рассмотрим все представления вида а = Х * У , получающи­ е с я из представления (* = А * В сопряжением элементами и з£ , то е сть X = <? Ад , У = <7 в $ ч или X = о В $ Г ' , У = п t f f j и всевозможные гомоморфизмы группы В к на группу <? . J <4еди всех таких представлений и гомоморфизмов выбираем под ставл ени е G = Х * У и гомоморфизм, удовлетворяющие следу­ ющим условиям¡ (1) Ч ' М ^ с е Х , ( 2 ) где Ъ . - Л ' Р по очереди лежат в X или У, а £ - наименьшее возможное для все х таких представлений и гомоморфизмов. Если t^O , то так как с (-р лежит в X или в У , а Се X, го р е у , Если же t >0 , то е у , ибо в противном случае й с Х , и мы получим противоречие с минимальностью í , заменив с яа я / с % . ^ - на У ~ 'сЛ у ,. В любом случае конец и начало г1 лежат в У. Покажем . ч т о = гР Р с) ч ^ ( ы ) .' Выше уже отмечалось, что с н Ы порождают х’руппуСг. Покажем, что между ними нет нетривиальных соотношений. Предположим противное: пусть /, где т > 2 ,$ ,. -АпТ ?4