Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

йодная неабелева группа. М.».Мерзляков [ 6 ] установил совпа­ дение позитивных теорий свободных неабелевых групп ТЬОР ь М а . любая нетривиальная собственная вербальная пол- группа. определяемая одним словом групп В„ В и £ 1 имеет бесконечную ширину. 3' й4 * ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим чепеч л ___ а /о „ иапачим через О любую и з групп Ьэ , В С/ О ЛЮО.УЮ ш Во. Покажем, что существ.ует гомоморфизм группы % на группу Я * * 3 ' Группа В3 имеет задание < а . * П а * ~ в \ поэтому группа л 1 гомоморфный образ группы Вд. I Руппа В4 имеет задание п Т я ,С^*' 63 ! ! 6 '^ Я г 6 ; ( $ » « < * > отображение £ — б ^ г ■* ' 1 > ^ Ча > чз -*<*» продолжается до гомо­ морфизма группы В4 на Вд. Группа &/■ (Зу имеет задание < суа I се*/г с3=ы*>. И Iруппа является, очевидно, её гомоморфным образом. Предположим теперь, что собственная нетривиальная вербаль­ ная подгруппа КГС группы О имеет конечную ширину Ы. . Тогда на группе £ истинна позитивная формула ф : У *п> . . / т ) . . Л У у н , '> - ,* ¿ 4 , п)(Эу< ( Э У ^ .... Уип) % & .......... х Л ЫА* «*/ Так как существует гомоморфизм группы (х на группу ¿а т® Формула Ф истинна и на имеет ширину , что противоречит теореме Ремтуллы при условии, что и г(2 3 * / л) - нетривиальная собственная вербаль­ ная подгруппа группы Коли бы иг(г3+ гх) была тривиальной подгрушой, то на группе была бы истинна формула ( V Уи . . . , Х п .)(и /(У 1 , . . . >Уп ) = 1 \ но яго невозможно, так - как группа “ одержит в каче­ стве подгруппы свободную неабе.геву группу. г г