Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

УДК 5 1 9 .4 В. Г . Д, урнев Ярославский университет О ГРУППАХ КОС Обозначим через В Г( группу кос на П нитях, то есть группу с представлением Г.С.Маканиным в "Ко.уровской тетради" [17 формулирована следующая задача. " 6 .2 2 . Построить к о су , принадлежащую коммутанту группы кос и не являющуюся коммутатором". Ю.С.Семёнов в [2[ привел пример косы из коммутанта груп­ пы кос Ву , не являющейся коммутатором. Однако остал ся откры­ тым вопрос о возможности построения аналогичных примеров в произвольной группе кос ч п при л .^ 4. Н.Й.Репин [7 ] построил для любого П косы в Ву и В^, не пред­ ставимые в виде произведения И коммутаторов. Целью настоящей заметки является доказательство более сильного результата для групп Бу, В4 и 5 Ь ( 2 , /_). Для произвольной группы (т и группового слова и г через игО обозначим вербальн.ую цодгрдшу, определяемую сло­ вом IV ' . 1 о вор я т, что юСг имеет ширину с1 , если каждый эле­ мент из шЮ представляется как произведение с 1 значений слов и ? в группе С- и Ы. - минимальное число с зтим свой­ ством . Вели такого числа не существует, то говорят, что под- • группа ихвг имеет бесконечную ширину. , Термин "ширина вербальной подгруппы" введен Ю.И.Мерзляко­ вым, который установил конечность ширины произвольной вербаль­ ной подгруппы алгебраической группы матриц, В.А.Романьков [ з ] д ок а зал , что любая вербальная подгруп­ па 10 - 0 - произвольной полициклической группы о имеет конеч­ ную ширину. Ремтулла [4 ] установил, что любая нетривиальная собствен ­ ная вербальная подгруппа свободного произведения групп А В, |А| $ з,|В|^ 2 , имеет бесконечную ширину. Сакердот [ ь ] док азал , что любая группа вида АЖ В , |А| $ з , |в| > 2 имеет ту же позитивную теорию, что и о во 71