Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

ОПРЕДЕШШ 3. Пусть НА , На - две подгруппы из , Назовем Нд , Ц 2 сопряженными в "Ьу 1+1 , если существует такое н е Ъ п+± , что Н ^ г н ^ г ' 1 в Ъ * . * А ТЕ0РК.1Д I . Нели две подгруппы НА и Н г из Ъ « со - пряжены в . КЬ^-ц , то они сопряжены и в 3 « . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть \ г е -! ~ система образую­ щих для Н 2 . Тогда из определения сопряженности подгрупп следует, что существует такое 2 . из З Ь *-, а , что м -г- г . и - с г ' А • Где {^ А ^ з-с е Т _ некоторая система образующих для Нд . Очевидно, справедливо и обратное. Ис­ пользуя теперь лемму 2 , получаем, что Ид и \-(2 сопряжены в •Ьп . Теорема доказана. ТБОРДЫА 2 . Если подгруппы Ид и Ц 2 из Ъ * сопряжены в группе ЗЬр чр> м ), тогда Ид и Ц 2 соирякены и в груш е ЗЬм . а1ЬЛСТШ I . Пусть Ндс: Ъ „ , Ц ^ з ь .^ и существует 2 £ Х Г С * » « } гакое* что Н4В ” 2 И г в КЬр . Тогда наи - дется г 'е я К - у , такое, что И ^ ' - ^ ' н в Ъ - Доказательство очевидно. Из теоремы 2 и результатов работы [2 3 получаем СЛЕДСТВИЕ 2 . Существует алгоритм, позволяющий для любых двух конечно порожденных подгрупп Ид и Ц вить, сопряжены они в ЗЬ,, или нет. ДВЛмЛ З.^Цусть Нд , Н 2 - две конечно порожденные под­ группы из <. 6 , , б 2 > и и ^ < 6 , 4 , Н Я^ < ^ , Ч> ( Х = 1 , 2 ) Если при этом существует -£ такое, что н , г - > н в ъ т о г имеет вид ^ У ( 6 ,4 , где ^ % * > ’ СЛОВО ИЗ 4 . 6,4 6 гЧ? . 7 ' 1 1 6г ) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. < х ,^ ■ * Рассмотрим г аломорфизм и; • ^ ^ ( 6 , 4 ’ ‘ ' ^ из у стано- х ^ х ^ х ^ х 2 & '< Х , (см . [?~\ ). ч Ч ) = '¿ х у х у х Т 1 б г ) = ^ Х ^ ^ (_ 6 г М) = )С^> с^у При данном гомоморфизме подгруппа < 6 ,м. 6 2 > иеоауп Г б я Т ч Г ,< ч 1 б ' 1 ,ч (6 *“ ь • т - - -3 < €>, порожденную подгруппу н ' Л ЧV, ■> г ? переходит в конечно ' <'ЧЧ< 5 .'Ч , ^ ( б 7 ч у> . Подгруппы Г6