Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

УДК 5 1 9 .4 Б. П.ВАНЬКОВ Тульский пединститут «О ЦЕНТРЕ Т(6)-1/3-ГРУПП Конечно определенная группа в называется Т( 6 )-1 / 3 -группой, |если симметривованное множество И всех ее определяющих слов удовлетворяет конъюнкции условий С’ (1/3) и Т( 6 ) . Ив геометрической интерпретации Линдона [1] малосократимых групп следует, что Т(5)-1/3-группы являются этническими. Поэ­ тому, в силу работы Ольшанского А.Ю. [23, перестановочные элемен­ ты Т( 6 ) - 1 / 3 -группы являются степенями одного и того же элемента. Ив диаграмм минимальной ¡^-последовательности для нетриви­ ального слова Ш*1 Т(6)-1/3-групп дуальным образом получаются ди­ аграммы С(б)-групп, которые, как показал Линдон С13, содержат, по крайней мере, две области внутренней степени не более трех. Поэтому нетривиальное Б-приведенное слово \У*1 Т(в)-1/3-группы 'содержит слово ЗтБг такое, что и | I > >|Т 1 Т г 1 . Этим решается проблема равенства слов в Т (6)-1/ 3-груп - пах. ТЕОРЕМА. Т (б )-1 / 3 - группа 0 имеет тривиальный центр либо является циклической. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть имеются, по крайней мере, два порожда­ ющих элемента а ,Ь группы в, и нет соотношений вида: а * « 1, а 4 Ь * « 1 для е т , ег из 1 -1 , 1>. Пусть X принадлежит центру группы 0 . Докажем, что X“ 1 . Если это не так, то из условий Ха*аХ и ХЬаЬХ следует су ­ ществование слов I) и V и целых а , а . т , 5 таких, что а»и *, Х»1г и Ь*У , ХеУ . Поэтому а* * 1 для у *з г и ц --5 « . Слова а ’' и можно считать Я-приведенными. Кроме того, они не содержат слова БтЗг такого, что З т Ь Т ^ в К , Б г Т г 'ц 1* ! ? и 59