Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

Доказательство будем вести индукцией по числу сомножителей ' в ( I ) , Коли , то справедливость утверждения следует из лемин 51. Пусть утверждение справедливо при Б< п , докажем •го для У - Л .. . Выделим в произведении (I) диаграмму М максималь­ ной ширины о наибольшим номером к , где Допустим, что 1 < к < п . Тогда в силу индуктивного предпо­ ложения ц п м # , . . * п {‘ к)ц « ц м Ц и 11 ( 4 ^ ) # . . . * И Ы |1< т а х { Ц м (% 11М(Ч 1 } - к о Отсюда сл едует, что ЦМ^Ц * т а х { 1 1 Н (1к,Ц, ¡1Н(1п)Ц } . Допустим, что к * { . Тогда толыщна любой, диаграммы М (1** будет удовлетворять соотношению: ||М( 1 ?)||<||М£Ц| /1М(Ч Ь 2 / ( ь ,г д е НП“'>* , . . * М (Ч 1 - НМ(Ч Пуоть И М Ч чЦМ ^Ц , причем м <Ь)фМи,) и Н 1п)ф ( П (1',)~\ если Н М ^ | | » 11 М (Ц|. Введем обозначение: /|М11'“ ЛМ ^11. Веди 1 1 Я * М (Ч 1 > Ц Н Ц , то оокращение между диаграммами 1 й и М(‘я> поглотит меньше, чем к(л , слоев , поатому I ( Я (Мш П (Сп) ||> 11 Р 1 * М ап)/1 , что в силу леммы 51 мевовможно. Имеем две возможности; М(1’^ М ^ ш т Допустим, что и | | Н *М Н 1 > ||п( ^||, тогда ИМ ♦ Р Щ > ИМИ, что невозможно, Ееди , то из т о г о , что а м (% м ( Ч и ||М< у * ^ | | « | | ( м л , ) - , * М ( У | | -о , * 1 ! Н ^ ( М (‘1)) ' ,| >Ц.М( 1 , , И, сл еду ет, что ||^*М(‘ 1 )||> 1 !П ^ ; ||, что невозможно. Случай ИМГп)| >|| М ( ,)Л симметричен случаю 11 М( д «> нм (‘ я)||, Лемма доказана. Из следствия теоремы 4 и леммы 53 вытекает ТЕ0Ш/1А 7 . Для т о г о , чтобы нормализатор циклически