Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

Обозначим через кольцевую неприводимую £ <- диаграмму, равную М М ^ . тогда ||М^|>/7^ и для любого /?>/ 1П(п^ (1т^ ,%М(ЮН> //и(Г)* .. Из определения образующих диаграмм Ь г * и леммы 49 сл еду ет, что произведению соответств.ует слово , равное в груп­ пе (т олову У ф .) ) . Поскольку |/У<? > |< с *0 ^ то существует целое число ? т ак о е , чтоОТ?!ЛТ^А)г б < ^ > Пусть для некоторого /г справедливо равенство Рассмотрим диаграмму Л1 0 Х М ® 4 -------- ■’> обозначим через 2 простой путь М , соединяющий вершину О с 0 ' . Из вышесказанного сл едует, что ¥ (2 ) & уу / . Пусть % , % - граничные циклы М0 . Разрежем диаграмму М 0 по 2 , получим связную односвяз- н.ую £ - диаграмму К0 с граничным циклом ОН.~2,(3 ' 2 , ,% > где ч < ю * \ ы 0 , Ш с ' ) ~ м 0~\ ч,( 'г ,) ~ ({ ( 2 Т <= № У Рассмотрим связную односвязную приведенную И? - диаграмму 3 с граничным циклом 2"эе и меткой ЧХ2"^е) = У(2)~г- И// и диаграмму ^ являющуюся зеркальным отображением $ о т ­ носительно X и имеющую граничный цикл Эе4 2"~< с меткой ^ (э е 2"' 9 = \Л/0 !<■ * { ( ? ) . Оклеив И0 о ^ по граничному пути 2 ' и Ко с *! 1 по 2" , получим связную односвязную № - диаграмму Н0 с 1 'раничным циклом 1^о'> метка которого (?(ЭС% Х~'<Го')-\А/о М?У *о Так как граничная метка диаграммы равна единице в свободной группе, то К0 приводима*, выполнив в ней все во з­ можны! пРиведенш 1 , получим неприводимую односвяяную диаграм­ му К о | ^ | = 0 ш . Докажем, что //?/ £ 0 . Проведем математическую ииду кпдв по числу областей в У , Ьсли Ь ¡=0 , то утверждение спра­ ведливо. Докажем е го для случая \^\-=П, Так как диаграмм Ка приводима, то диаграмма к 0 си д ери т