Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть £ - конечно определенная группа, принадлежащая классу СГр)Ш$) групп. Пусть также -пр ои з­ вольное циклически несократимое слово. Рассмотрим всевозмож­ ные кольцевые приведенные Р -диаграммы М, граничные циклы которых 6 , Т имеют метки , Ч’(т)= \м [ Над каждой такой (? - диаграммой проведем Ч - сокращения, специальные Ч - сокращения, свободные сокращения. Получим множество Й - диа­ грамм Ш , к котором не применимы указанные сокращения. Разобьем { м } на классы следующим образом: дне диаграммы М,:соответственно с граничными циклами 0°/ Тп) и 5 ^ т'г\ для которых с? (б',)- 4{6и\ отнесем к одному классу . (О Допустим, что диаграммы каждого класса удовлетворяют следующим условиям: (1) каждая п - слоиная и С - И - слойная Ц - диаграмма имеет число слоев ; (2) среди С - 3 - ело Иных и 3 - елейных (? - диаграмм нет . специальных; (3) из каждой С - 4 - алойной или 4 - алойной £ - диа­ граммы нельзя получить удалением специального слоя С - 3 - слойн.ую соответственно 3-слойную специальную И -диаграмму; (.4) нельзя н результате удаления специального граничного слоя у любой С - п - слойной, 4, либо у любой П - елей­ ной, 3 ^ / Т < 4 , получить диаграмму со специальным граничным СЧК- слоем. В силу леммы 43 каждый класс диаграмм, удовлетворяющих условиям (I ) - (.3.), содержит конечное число диаграмм, и так как множество классов тоже конечно, то получим, что { р|} состоит из конечного числа диаграмм. Восстановив по каждой Р - диаграмме М исходную диаграмму, получим, что множество исходных I? - диаграмм{й}конечно. Отсюда следует справедли­ во сть леммы в рассматриваемом случае. ( ¿ 0 Предположим, что в множестве £ - диаграмм |м ) удовлетворяющих условиям (I) - СЗ; , содержится диаграмма К ? не удовлетворявшая условию (4). Удалив у ^ с п е ц и а л ь н ы й грн - ничный слой или один из специальных граничных слоен , получим диаграмму М со специальным граничным СИК~ слоем, с гра­ ничным циклом О . Обозначим через % слово , равное Ч>(%) Так как \н сопряжено в в слову , заменим И/ На IV, 47