Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

По лемме 10 слово С, С< - простое, по лемме 7 F s Ci C 1 . Сле­ довательно, ¿ f = К р . Из (AQ) по лемме 17 вытекает QC = FQ , а тогда £ С-A s EQCA = Е FQA s Е F JD , Взяв в к а­ честве 2 элемент ВСА , мы получим заключение леммы. Из доказанной леммы сразу вытекает однозначность извле­ чения корнй из элементов бесконечного порядка. СЛЕДСТВИЕ 3 . Пусть X , У - элементы бесконечного по­ рядка специального моноида Черча-Россера. Тогда из соотноше­ ния X е ~ К*" при ¿ > о следует Х = У . ЛЕММА 1 ? . В специальном моноиде Черча-Россера не сущест­ вует бесконечной строго возрастающей цепочки А ) бесконечных циклических подмоноидов ; Б ) циклических подгрупп. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО легко следует из леммы 16 и леммы 13 . ЛЕММА 2 0 . Теорема 4 верна, если подмоноид К конечно порожден. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть К - < Х 4 , Хх, - коммутатив­ ный подмскоад без нетривиальных идемпотеятов. Можно считать, что С при { с с'<и . При лемма верна (см . теорему 1 и лемму 14 ). Пусть теперь / t> ; к лемма верна для подмоноидов, порожденных менее, чем В. элементами. Возможны два случал. 1 . К '-< Х 4 ) А' а -,> - циклическая подгруппа моноида М . Тогда в К' найдутся элементы К и Y такие, что Y У ~ У Y - и любой элемент из X равен неотрицательной степени Y или Y. Для подмоноидов 2 У, * а > и <Y, У-> лемма справедлива. Р а сс­ мотрим две возможности. 1 . 1 . С Уу Хк> или <У ,УК> является циклической подгруппой. Тогда очевидно, что К - тоже циклическая подгруппа в М . 1 . 2 . Ни один из подмоноидов < У, X* > , < У',Х*> не является цшс.лическ.ой подгруппой. Следовательно, эЖи подмоноиды вклады­ ваются в бесконечные циклические поделоновдн, порожденные эле­ м ента® V та U соответственно. Поэтому |гри некоторых неотри­ цательных числах t , f> , S , t Y ~ У } У = л г , XK = V P- U Отсюда получаем Y Sf,Y e l = V eSFY ‘ *= и Ш У е * = Y e i y n = Y . Если Y - Y или ^ то приходим к противоречию с пред­ положением A ’¿ * Y ; в противном случае Y является нетривиальным элементом конечного порядка и поэтому не может 129