Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

дущему. _ 4 ^ , о = р£)С ВО. Для каждого представления $ в таком виде к 2 добавляется { РЮЕ О. > РЮ В С1) Р£>С а(- Е <2 > 1 Е I £ л. А. } , 2. 9 где , . ■у = р р ? Е а порождающие моноида* м Для каждого из таких представлений к Е добавляется I Р£>С В ¿2 1 • Из построения сл еду ет, что множество 2 порождает центра­ лизатор элемента* ^ и является конечным. Теорема 3 доказана* ЗАМЕЧАНИЕ 2 . Если моноид N конечно определен ( т . е . имеет конечные множества порождающих элементов и определяющих соотно­ шений), то существует алгоритм, строящий множество порождающих элементов для С (# ). ЗАМЕЧАНИЕ 3 . Если - не идемпотент, то Р <// конечно порожден даже в том случае, когда М не является конечно по- роаденным. § 8 . Коммутативные подооноиды без нетривиальных кдемпотентов Основная цель данного параграфа - доказательство следую­ щей теоремы. ТЕСРЕДА 4 . Пусть К - коммутативный подаонойд специального моноида Черча-Россера М . Ес.пи К не содержит нетривиальных идемлотентов, то оп либо является циклической подгруппой, либо вложим в бесконечный циклический подмоноид. Сначала докажем некоторые леммы. ЛЕГ.Е.1А 1 4 . Пусть 5 - конечный подаонойд произвольного мо­ ноида. Тогда .либо ^ содержит нетривиальный идемпотент, либо 5 - подгруппа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.хорошо и звестн о . ЛЕММА 1 5 . Пусть 8 >СА - неприводимое слово в специальном моноиде Черча-Россера, АВ = 9 и для любого /*><? слово С тоже неприводимо. Тогда слово б С *1 А неприводимо при любом п г > О . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что лемма неверна. Пусть слово б См содержит вхождение определяющего слова Р при не­ котором Ш-У. 4 •, Вх С С, > где Р> = б 1 ^ ^ ^ Р, 1СеС, I > /£ I • Из равенства А В - / и неприводимости слов А , д сл еду ет, что Р>^£)< ... Ц , г д е каждое Щ - непустой конец определяющего слова. В то же время - начало определяющего слова Р . По лемме 2 ' Вх является двусторонним словом. По 126