Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

обязательно происходит хотя бы одно сокращение. Но так как А* (V г\/, Лщ' Л» Х 1 V, - У, X, , то очевидно, что левые остатки слов X , и У 1 сов­ падают. Теперь .предложение 13 следует из предложения 9 . Из предложения 13 вытекает, что для У, , справедливы соотношения (43) при пустом слове £> (в (44) левый остаток Уг непуст). А тогда по леммам 3 ,4 для Л* , У 1 выполняется утвер­ ждение 2 теоремы 2 . 2 . Пусть справедливо утверждение 2 теореш 3 при пустых словах^ Р , О , Ц , Т , к / . Заметим, что тёк как слова Х 1 , К, непусты. 2 .1 . Пусть левый остаток слова X не длиннее левого о с­ татка, слова К, . Тогда по теореме 2 X , * А 1... /4*. ^ Из (3 7 ) получаем ^/ 4« г /1,... откуда по лемме 2 ' А*. - ГА & для некоторого Г . Тогда (с м .(3 2 )) Х - 6 А 1 -~А»-1ГА и существует определяющее слово РА й Вт. ( т .к . - определяющее слово,). Введя обозначения Р - Г А , Т - А ^ ~ 6 ^ и учитывая ( 3 8 ) , получим, что для слов X , К выполняется- утверждение 2 теореш 2 (при пустых Р , (?) . 2 . 2 . Левый остаток слова Х 1 длиннее левого остатк а К, . Тогда А» А Ж. г « г , А * , . (457 Кроме то го , для' X, , ^ справедливы равенства ( 4 4 ) , т .к . в (4 3 ) левый остаток слова пуст. Так как ( 4 4 ) выполняется лишь при пустом У , т £ левые остатки слов X и К совпадают. Из (44) следует^ что У, Xf = А В ; из (4 5 )' f' X, = К *~Ь, Поэтому А(,= И 1 (оба слова неприводимы), причем t > f- , т . к . /4в£ / . Рассмотрим две возможности. 2 . 2 . 1 . /^/ . Тогда А&± U , А = /?* « г откуда X * i C t и ^ ц ( г м . ( 3 2 ,3 7 ,4 5 ) ) , у - А , ... Am Н « / (см . ( 3 8 ,4 5 ) ) , (см . (3 1 )/ . Введем обозначения ^ ' 5 « .Л 'Г’ Получим Х = ( и ) * , У - ' и , А , Мч Выпо.лняется утверждение 3 теор еш 2 (при ’ этом слова X я У меняются родят/®, что допустимо, поскольку левый остаток У не длиннее левого остатк а V ) . 2 . 2 . 2 . JABI > l i t ( . Докажем, что это невозможно. Посколь- пу Ар> S 'U. Р } то Í f-> 1 . Слова и НИ*~* - определяющие (см . (3 1 )) . По лемме 13 H*U- откуда U i ^ J - опреде- ляютее слово. Так как Х , * й * - неприводимое сло во , то , v .e . . Тогла Н ~ ^ ' 124