Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

можем выяснить, как устроены слова X, , У, . Из ( 3 7 ,3 8 ,4 1 ,4 2 ) сл еду ет: Л ^ . . . Ач_( А & в Ё ^ &jt A R , )у Е И>НА ^1 . . . Aj'f _t — Введем новые обозначения ,цля начал и концов определяющих слов: /у, = и > % ~ А В>, Acs = А & I 6й - н • Тогда X4 S A i t --- A i s — --- &*/о > (43 j К - - ^t's ¿ - ^ ‘ 1 ® ■ Неприводимое слово 2) получено из AV V) ^последовательными сокращениями слов Аи t>u (е= и из К, X, сокращениями слов \ BjK ~7*лЛегко видеть, что этот порядок сокра­ щений правильный (это следует из того , что он был правиль­ ным для слов X , Y ) . Левый остаток слова Y, равен 0 , ле­ вый остаток слева X, пуст. Предложение 9 в случае непустого У доказано. 2 . Слово Y пусто. Заметим, что в этом случае левые о с - татки слов X и У совпадают (см. (1 2 )) . Если в (4 2 ) ? = то и /> ~ / т . е . У* ЬНА, У 1 =У. Но это противоречит предполо­ жению о том, что У, непусто. Следовательно, $> У ■ Слово . . . ¿У, оканчивается на Н (см . ( 4 2 ) ) . По лемме 2 ' Вс = £>Н при некотором Ю и по лемме 1 Ас,'Х) = А 6 . Вводя новые обозначения, как и в предыдущем случ а е, получаем из ( 4 1 ,4 2 ) : > Vs 5 ^ - . . . V / - в ‘ х — & (44) Неприводимое слово А с ^ ^ А В получено из X, К, последова­ тельными сокращениями слов Асв й1е ( В - * , - , * ) и из К X, сок­ ращениями слов ( Ху-л у ) у причем_этот порядок сокраще­ ний правильный. Левый остаток слова X, равен А,{ X У • Левый остаток слова ^ п у ст . Предложение 9 доказано. Из д ок а за тел ь ства сл еду ет, что для X, , У, выполняется либо ( 4 3 ) , либо ( 4 4 ) . Таким образом, о ст а е т ся )д о к а за т ь теорему 2 для слов X , У в случае, когда для Х 1 I, У, справедливо либо п ерво е, либо второе^утверядение теоремы 2 . 1 . Пусть для У, , У< выполнено утверждение 1 , т . е . у ^ и 1' , У4 = и *> Сведем это т случай к случаю 2 , рассмотренному ниже. ^ ^ ПРЕДЛОШШБ 1 3 . Левые остатки слов X , и У, пусты ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Кок видно из ( 4 3 ,4 4 ) , в слоне X , У 1 123