Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

дались в правильном порядке: после ($ -< ) _го сокращения слова / К получается слово ВИ, Аи й„ К , в котором И, © располо­ жено л е в е е, .чем Л,-, . 2 . /> = -Г .И з (3 9 ,4 0 ) сразу следует, что ^ = / т е *4 = У" А 5 В Н У Н , А . Слово 'и , непустое собственное начало и конец слова /V , //= н и н По следствию 1 , примененному к ( 3 1 ;, _ опр ед еляй " щее слово. Это слово раположено в Х У = ВН,А&Н УИ, А = - Ас, У//ГА л е в е е , чем Ас, Вс, . Противоречие:, как и в предыдущем случае. Предложение 10 доказано ПРЕДЛОЖЕНИЕ Ц . = у . .. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположил, что предложение неверно; докажем, что тогда сокращения в слове X У выполнялись не в давильном гордщсе. При /А;/ > /«/ это очевидно Гем. 039 4 0 )) П у с т ь 1X^1 < 1И1 Равенство (4 0 ) влечет //н при некото- Р М ’ "г ' е * - непустой собственный конец определяющего слова АВ>Н .И з (39 ) сл еду ет, что . . А,- = Л£, . . . / # ' , I а Х ' У , У К ' ” ч . , Л * Учитывая лемму 2 и следствие 1 , легко видеть, что / л - нача­ ло определяющего слова; поэтому - произведение непустых начат определяющих слов. Применяя несколько раз следствие 1 , получаем, что * КА В Г - определяющее слово. Но тогда в Х У первым должно сократиться подслово Х ^ А В Г , что противоречит предположению. Предложение 11 доказало. Таким образом, X - А А с , . . . А с ^ А = В В у ^ . . . ф , А , ( 4 1 ) У = Л УЛ<>1 •* ' НА - 8 Н 6 1 ^ . . . &С, у А . ( 4 2 ) ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 2 . Если V # 1 • то ¡Н I $ (У I . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ес.ли предложение неверно, то из (42) следует И ш у у , где р - непустое начало слова А^, . .. А, /у и в то же время конец определяющего слова АВН . Рассуждая, гак. в д ок азател ьстве предложения. 1 1 , опять придем к ггротиво- ¡ечию (в слове УХ после (/> --с) - г о сокращения выделится определяющее слово л е в е е , чем В^). Предложение 12 доказано. Теперь для док а за тел ь ства предложения 9 надо рассмотреть .два случая. 1 . Слово У непусто. По предложению 12 IНI ^ I У I , поэтому -• (\ ? ) тонем У г £ > Н при некотором £> . Теперь мы 122