Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

2 .3 . Если утверждение 3 выполнено для Л/ , то оно выпо нено и для К . Это следует иэ транзитивности отношения со­ пряженности и из то го , что если (Х<)Р(У 1 - нетривиальный идемпотент в Л/ , то х р у У - нетривиальный идемпотент в К . Теорема 1 полностью доказана. Доказательство теоремы 2 завершается в следующем параграфе. § 6 . Окончание доказательства теоремы 2 Таким образом, мы рассматриваем случай, когда верны со -, отношения ("28-35] и теорема 2 (и замечашю 1] справе.длива для коммутирующих неприводимых слов Ху , V, . Пусть слово И в (31) пусто. Тогда А д - определяющее слово и Х~ Ху (см . (3 4 )] , причем слово Х< неприводимо как подслово неприводимого слова X . Поэтому X, - Ху , Аналогич­ но доказывается, что г у 1 , Следовательно, X = й X , /• , Ун $ У /4 . Легко ви д еть, что левый остаток олова Ху отно­ сительно у не длиннее левого о статка слова Уу относительно Ху . Теорема 2 доказана (утверждение теоремы, выполненное для Х 1 , У , справедливо и для X , У с заменой олова Р на вР и <2 на ) . Предположим, что и рассмотрим два случая: / Я ;,/ * / * * / и 1 * М > 1 Х 1 1 . 1 .. |</X«/. В этом случае из (1 0 ,1 1 ,3 0 ) получаем Х = .дИ Х г А при некотором Х г . Кроме то го , УД 6 НУ 1 А (см . ( 3 2 ) ) . Очевидно, что подаоноид <Хъ,У<> коммутативен и сопряжен с X X , К> (сопрягающими элементами служат Л// и У Л ) . По предположению индукции теорема 2 справедлива для <г Хг, У > , а поэтому» как и в предыдущем случае, она спра­ ведлива для X Ху У > - 2 .^ /¿г, / > / Хг / . . . ^ 6 ) Слово X (см. (34)/ неприводимо при непустом Н , т .к . иначе, используя (3 0 )) получим противоречие с тем , что сокращения проводились в правильном порядке. Таким образом, Х , = Х < А в , (37 ) поэтому слово X получено из Ху циклической перестановкой. Очевидно, что У = У. (см. ( 3 2 ) ) , поэтому У = ЬУ< МА (3 8 ) Если У = X , то нетрудно показать (см. (1 0 ,2 8 ,3 0 ) ) , что левые остатки слов X и У совпадают. Поэтому 1УСI ~ I Хе I 120