Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

(см. (9,10,29],/ : X * В Х .А ' , / е в \УА , Vв. HY. = Y¿H } (32) ч * Yi , Xf — некоторые слове.. Так как X и Y коммутируют. то 6 Xf A & VА = &VA & Х<А . (53) Перейдем к сопряженному подмоноиду А/ , порожденному элемент т аш X - Xi А & , К s I/А в (М ) (То, чт° подмоноиды А"= < X, У> и / y - < x ) y > сопряжены, нетрудно доказать с помощью (3 1 ,33)). 3 кач естве сопрягающих элементов можно в зя т ь 0 и YA.'), Отметим, что слово Y оканчивается опре.деляотдкм словом НА & . Используя ( 3 1 ,3 3 ) , покажем, что X и Y коммутируют: ^ Y = Х .А £ УА £ = ~ (НА б ) X<A&YA& - (UA A) ya 6 А, А & - УА & Х.А& = У ) Г . Пусть (соответственно У,) - неприводимое сл о во , равное X (соответственно У) в^монои^с М . Поско.льку ¥ содержит определяющее слово, то /У; /< /Г/. Тогда ¡X, /+ lYt l < ¡X I +/ Y\ - - 1*1 + I Y !• По предположению индукции теорема 1 справедлива fym подмоноида /У , а теорема 2 справедлива для пары слов Х ^ , )ч • Докажем истинность теоремы 1 и .для исходного подмоноида К - < Х,У>. Заметим, что X~6X. UA , У = в У 1НА . (35) Имеется три возможности, в зависимости от т о го , какое из ут­ верждений теоремы 1 выполнено для /V . 2 . 1 . Пусть для подмоноида А/ выполняется утверждение 1 теоремы 1 , т . е . существует элемент. 5 £ М такой, что каждый элемент из А/ равен некоторой неотрицательной степени эле­ мента 5 . Тогда каждый элемент из И равен некоторой неотрица­ тельной степени элемента £ 1 НА (см . ( 3 1 , 3 5 } ] . Поэтому под­ моноид К тоже содержится в циклическом подмоноиде. 2 . 2 . Пусть Д/ - циклическая подгруппа. Тогда в -V най­ дутся д ва элемента Л1 , Т таки е, что З Т = Т £ - У и любой элемент из А/ равен неотрицательной степени X или Т . Из (3 1 ,3 5 ] еле,дует, что каждый элемент из К равен неотрицатель­ ной степени ВЯНА или £ Т ИА . Выполнено равенство В 5 НА 6 Т Н А = 6 Г НА 6 1 НА = В НА - Теперь при 6 НА = 4 для подмоноида X выполнено утверждение 3 теопемы 1 , а при в Н А & / выполнено утверждение 3 ( т .к . ВНА - идемпотент ) . 119