Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.
что левый остаток слова X непуст (следствие Яj . При этом Р э Q н / . За- знание 1 справедливо. Таким образом, закончено рассмотрение случал 3 , а вместе с ним и доказательство теорем 1 ,2 при ¡X ¿l < / 6 у / . § 5 . Доказательство теоремы 1 в случае "большого" левого остатка олова X П усть в (9 ) ( X ¿ l > I &J f I . ( 2 Q) Заметил ср а зу , что тогда левые остатки слов X ш Y непусты, поэтому замечание 1 выполняется. Кроме т о го , из (28) и пред ложения 2 еле,дует, что ¡X\l} ¡A¿s l . Можно записать X¿ X^ = X^A¿S. Равенства (1 2 ) перепишем з виде: Yt = 4/; У , Ъ ® УХ^ Ats . . (29) Возможны следующие два случая: l fyl > /*«-,/ и / s ¿ t l. Рассмотрим юс по отдельности. 1 . /4/(Г/> I в t s l- Докажем, что этот случай невозможен. Из (1 0 ,2 5 ) получаем ву = BL¡ Hi при некотором непустом Н* . Пусть ¡A¿i ¡¿¡A j¿. Тогда из ( 1 0 ,2 9 ) следует равенство^ Аур = 2)/) ¿s при некотором 2 ) . Но поскольку Ajp 8 j p — = ¡DA¿SB¿i H i - определяющее сл о во , то приходим к противоре- ■ чию с тем , что определяющие слова не содержат в качестве собственных подслов других определяющих слов (см . условия в начале § 2 ) . Значит, Мс‘5/> / Aj,\ , т . е . A¿s * Нх A j, (г д е H i$ i) и поэтому Hi Ajf @is ~ определяющее слово . Из ^ 1 0 ,2 9 ) сл еду ет, что У= £ Иг Ajp при некотором Е , причем ¡ E I А < I Ус Aj . ..A j IfraK как Нг* 4 ) . Теперь нз ( 9 ,1 0 ) следует YXв Yt Aj ■ Aj, в /, . . . ñJ f X^ ~ € (Иг Ajp Вс , ) *V ...S ¿ и первым сокращается подчеркнутое определяющее слово Ajp йур . Но это противоречит тому, что сокращения выполняются в пра- ви.льном порядка определяющее слово в скобках расположено- л евее подчеркнутого. 2 . \в /р /í lñi s l. Как, и в первом случае, легко ви д еть , что B it s Н% ? Ajf S Нч A ci . (3 0 ) Поскольку A¿s &IS и Ajf А,- - определяющие сл о в а , то по лемме 1 Ht< . Обозначив для краткости A -A ,- s , &= Вур , Н-Н± получим, что А Ь И - Y , Н А Ь - j - (3 1 ) определявшие соотношения. Слова X , Y имеют еле,дующий вид 118
Made with FlippingBook
RkJQdWJsaXNoZXIy ODQ5NTQ=