Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

/V _^ f f = / (25) Из (2 0 ) получаем У i/L tt* * * s и ^ и * ( Используя это соотноше- ние, а также равенства ( 2 2 ,2 4 ) , докажем, что F и У комму- ¿27 ) тируют: F F s С <-£ ( и , * , ) * " * = Р ц * * " ' Ч = Р г к К н * 2 / Л ' й Ч С к * ' « * , = К / . Теперь из ( 2 5 ) следует: т . е . элементы F , У обратимы в /V . Предложение 6 доказано. Ясно, что подмоноид Л/ - циклическая подгруппа. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7 . Подмоноида К ж А/ сопряжены. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В качестве сопрягающих элементов во зь ­ мем < ¿ 11 ' и 4С г . Для произвольных р , выполнено графи­ ческое равенство Xf V ^ ( s (и ,) (Х ) Р(У') f ( 2 6 j Используя ( 2 2 ,2 4 ) , нетрудно док а за ть, что U-г Х Р= ( Х ) ри г при любом р ^ о . Отсюда следует и г х ру<- - ( x ) p( ? ' ) bu t при Предложение 7 следует из ( 2 6 ,2 7 ) . Мы установили справедливость, утверждения 3 теоремы 1 . Докажем теорему 2 . СЛЕДСТВИЕ 2 . Z) 0 / . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Tait как 59= , то при Z) = У мы полу чяли бы из предложения 7 , что подмоноид К , содер­ жащий нетривиальный идемпотент, совпадает с циклической группой /V . Следствие доказано. . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8 . Слово Е £>= -U. U г неприводимо. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из ( 1 9 ) еле,дует, что слово Y ¡0 окан­ чиваемся словом ЕЮ , т . е . достаточно доказать неприводи­ мость У ® . Напомним, что в слове Y* ~ Y e A / ' - . - A j ' ê t . . . ф ; А\ при правильном порядке сокращений первым сокращается подсло- Б0 AJ r f y r • Так' как Уе А ^ ... Ajf ^ p = УЮ 6 * 1 , где &(* ’t / (см . начало данного параграфа), то слово У Z> не может быть приводимым во избежание противоречия с правильным порядком сокращений. Предложение 8 доказано. Теперь утверждение 3 теоремы 2 следует из неприводимости слов С И Е 0 , соотношений ( 2 1 ,2 2 ,2 4 ) , лемм 3 ,4 и того , 117