Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

Пользуясь соотношения:,-л ('2 1 ,2 2 ), докажем сначала, что при любом О- ^ У > . . x V ^ u . - x ^ f c , . т В самом д ел е, при Л> 1 имеем: Х а U a i 5 - Х л 1 х и * ( и * ) а х а~'иа'и 1 с у г « * * * ( а с/ >‘ 1 . \ * х " откуда по индукции легко еле,дует нужное равенство. В следующей цепочке равенств применяется ( 2 1 - 2 3 ) : (У * Х 1 а К * х s ^ Ä и * * * ( и Ч с к < * * ) JV*4 = У гх и ^ и уи , с у х и * ) !^ г * я % е и , . и *)**= у ^ х предложение 3 доказано. Следующее утверждение усиливает равенство (23 ). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4 . А'“ Л '^—Х И ^ при любом <Х ^ У . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из определений слов С , £ , 7) и ра­ вен ства ("16) сл едует, что Е2РС - У , поэтому а , с = / . £ 4 ) Домножив (23 ) справа на & г * и применив ( 2 4 ) , получим требуемое равенотво. Предложение 4 доказано. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5 . Ъ .й*Хй = К * Х при любом Л > У ■ Для окончания исследования случая 3 надо рассмотреть две возможности ^цля^ идемпотента У х X . 3 . 1 . У Х =У . Так как X я У коммутируют, то Х * ’*У*=У) т.в. элементы X , У обратимы в подмоноиде К - < X, У>. По лемме 13 К - циклическая подгруппа моноида М . Теорема 1 справедлива. Докажем теорему 2 . Из предложений 4 , 5 вы текает, что X - 1СЛX = /, причем слова X неприво­ димы, 5 > о . Ясно, что тогда X = С^. = . . у и ? = . . . <Г, ,в 2 ) , . . . ^ где в се слова С с<, , 2^., непусты и ¿ ¿Д , ¿Г. - опреде.дяюшие слова при любом С . Тегерь из лемм 3 ,4 вытекает справедливость утверждения 2 теоремы 2 (при пустых словах Р , (2 , Р , Т , 1У и I-З+ 'я .). Замечание 1 выполняется. 3 . 2 . у ' Х 5**1 - нетривиальный идемпотент. В этом случае с т подмоноида К=<Х/ У> перейдем к сопряженному подмоноиду, который окажется циклической группой. Введем обозначения: х - суух , Г = ( и г * , . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6 . Подаочоид А/~<Х,У> является подгруппой моноида Л/ . ДОКАЗАТЕДЬСТВО. Из (2 2 ) сразу следует 116