Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

равенству, получаем, что существует непустое_простое слово tt-- и числа ii, $> о такие, что 2 ), 2 а, YE 2 # Тогда Кз U а* ( (д а. (1 8 ] ] , £>, * <i yV, , £ з Л , ftr*, где с/, t * о , i l s U, U ,* V, К . Так как £ , С Е D - определяющие слова, то и г 1 с ц с и С и г и ^ - тоже определяющие : слова. Можно применить лемму 1 2 . Получается V, С и 1 з /г"1, Поэтому Х& (18)) . Таким образом, из (9 ,1 0 ,1 , равенств * / * £ > , К г к £ D.t , &>i = (££> /*= А,, и доказан­ ного выше следует, что , , „ — _ Г X Y * X t A i , &i, Кч s SOA i , 6 i , Г Е ß , — U При этом неприводимая форма слова X Y получается одним сокращением выделенного определяющего слова Atl Е >1 Это определяющее слово является подсловом слова t L 1* * , В то же время 7 >2 tL**V, при С1> О . А это означает, что мы пришли н противоречию с предположением о правильном порядке сокращений - в слове X Y существует вхождение определяющего слова Ai, &i, левее выделенного. Случай 2 невозможен. 3 . В этом случае X £ CÖC Е , , Y s £>Y Е , Е г = E v t > Y E < . (1 9 ] Допустим, что £ ) K £ f s у . Тогда Аср = Е , = / , Bj = Д > = / и из (16) следует X * А { , ... А1/%= ^ ^ . Кроме т о го , У'г £ з £ t = Ас, = Aj , - - - A j f , поэтому Х К = К Х - / . Выполняется утверждение 2 теоремы 1 . По лемме 4 имеем Ai, ~ b/p t • Aip = 4/V У &if> - 4/у ) • ‘ ) Ас, ~ А /р . Тогда b , t A it являются определяющими словами при Е £ р } поэтому выполнено утверждение 2 теоремы 2 (при пустых словах р , fi . 7 " , Я , UA и t = S = j ) . Замечание 1 также справед­ ливо. Пусть теперь Z) Y Е , £ / . Пригленяем лемму 6 к ( 1 9 ] . Существует непустое простое слово U- и числа S ,* > o такие, что Е г = i c s, _ £ > Y E , = U . (20 ] Отсюда SD е U ?И , } Е , = Ц * при U = СС, и г = /< ¿4 ; Y = i c s ^ f X = t c с H Ä * . ( 2 1 ] ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3 . Элемент y s X SfM является идемпотентом. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из определений слов С , £ , 2 ) и ра­ венства (13/ сл едует, что СП£> = / . Поэтому С Y. = S . (? 2 ) 115