Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

ЛЮ Ос) О/) Из 13 следует, что 6 ;р . . . й^ж £ 2> , то е сть ' * ( £ * > ) - некоторое начало слова В Я , . . . б 1-4 а ( Е Х > ) ' - некоторый конец £ 2 3 . При этом ЛГж <О с ( е о ) ш1 Равенство (1 4 ) прилет вид У £ 23 К £ £ ( £ &)<"' Г (Е Ъ ) ("> . Возможны сл едуй т е той сличая. 1 . ( Е 0 ) <н>* Е 2 . ( Е 2 ) М * Е Ц , 0 * * / ; 3 . ( Е 7 > )М * Е г , £ * £ , £ , , £ , * / . Расочотоим каждый из них. 1 . В этом случае (Е РО) , хо есть ^ г 6сг ••• 6ч • (к, (IV Из (15) при /> > /^получаем по лемме 4 , что 6 уг - А ^ , а тогда по лемме 1 /^, %г - ¿ 141 и поэтому ф * является собственным концом. слоёц £>ч , что противоречит равенству ( 1 7 ) . Значит, Р - / • Слова СЕ £> и Е£>С являются определяющими: 04 (К! С £ 2 > = А ,-4 А с , &С 1 5 Ас 1 (см , ( 1 3 ^ , (н) (к) Е Ъ С * А /4 6 ^ Зу 4 г ^ (см . (1 6 А/. Из ( 1 7 ) следует, что слово 23 непусто. Поскольку левый оста­ ток слова X совпадает с 23 , то теорема 2 и замечание 1 спра­ ведливы (а именно выполнено утверждение 4 теоремы при пустых Р и ( 2 ) . Докажем- теорему 1 . Слово X - идемпотент: Х 1 = 23 ( с Е Е )) С £ = ЮС £ * X . Если X - У , т о < Х} У> ~ < У> и выполняется утверждение 1 теоремы 1 . Пусть X - нетривиальный идемпотент. Докажем, что подмоноид < X, У сопряжен с циклическим подмоноидом, порож­ денным элементом УЕТ> , в качестве сопрягающих элементов возьмем 23 и УЕ .И з равенств . ( х 1 г я’) я * ( 0 с £ ) * ( 0 ? Е )тг> = (г> ? Е )*Ъ * 2 > ( у е о Г \ где I , ж г. о , получаем X X, у >_Ъ - я с У ЕЕ». Аналогично _доказы- • в а е т ся совпадение множеств УЕ х х , У > и < У££>> у £ Случай 1 рассмотрен., 2 . Докажем, что случай 3 невозможен. Как и в предыдущем случае, легко д ок а за ть , что />= / , Е Z>C ^ Ау( 6 yf , CE i)=X c 4 Тогда. __ , ' У г £ > ,2 3 г £ £ 0 , > К 5 0 . , 2 3 г К £ = , ( 1 8 ; — непустые слова. Применяя лемт-iy 6 г последнему 114