Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

> 4. Х ^ Р Я С Е а , Y= p & Y E Q ) Y - любое сл о в о , Q. P - 4 С, E t Ю $ 4 C £ £ D С - определяющие сл ева, левый остаток слова Jf относительно Y непуст. ЗАМЕЧАНИЕ 1 . Если левый остаток слова У относительно Y п у ст, то слова Р , (2 , Р , Т , W з формулировке теоремы 2 токе пусты . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Без ограничения общности можно считать, что посылке теоремы 2 выполнена и для теоремы 1 . Будем дока­ зывать теоремы 1 ,2 и замечание 1 одновременно с помощью ин­ дукции по параметру ¡X¡ + I Y I . Заметим, что в одну сторону доказательство теоремы 2 очевидно - при выполнении любого из ’ условий 1 -4 слова X , Y коммутируют. Три Ш + IYI - о теоремы 1 ,2 и замечание 1 справедливы. Пусть теперь X” , К - непустые слова ('если хотя бы одно из них п у сто , теоремы очевидны] и Х К = КХ' в М . Из свойства Черча-Россера сл едует, что существует е.динственное неприводи­ мое слово Z , полученное из X Y и из YX одними сокращени­ я м , причем сокращения выполнялись в правильном торящее. Так как слова X , Y неприводимы, то ясно, что . . / = Xt Ait -‘ -A¿s = 4/, >4 , (9) Y- Y¿ AJr. . . AJp = ^ V4 , ■ (loJ где слова непусты при в се х значениях индекса ; S , ¡> - нелке неотрицательные числа; Ait B>¿t - определяющие слова при / 4 ¿ ¿ s ; A,/* RjK - определяющие слова при t * K < p ; 2 s j t i 1 4 s i í a , a i ; AV (соответственно ] - левый остаток слова А' ( с о о т в е т- ствонно У) . По условию теоремы IXe ¡ 4 lYe I . Слово Z полу­ чено из А К последовательными сокращениями опре,делящих слов Аи Bl¿ (¿-S, •••, /; и из Y X - сокращениями слов Арк P>¿K Пусть р - о . Тогда из (9-11) сл едует, что S - o и Х У =■ Y X . Поэтому тсор еш 1 ,2 и замечание 1 справедливы. Пусть р > о , Б > о . По условию теоремы ¡Xe I ~ lYe.1 .И з (11 ) следует —. Уе = Хг У , Г ^ = У Х ^ (12) 112