Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Используя лемму 1 , нетрудно доказать, что С 1Сг И lí с при некотором & Ъ о , Рассмотрим два возможных случая. 1 . /&»/»/КЛ Тогда существует такое слово Q , что /Н 1 - $ К. , 2 U, C?. Поэтому С<? Ц Л ? К К ) * * К U< ( а к V ¿ . Введя обозначение Т - í< гг, К и У , получим C Q T = Т £ С , и поэтому Сti~TQ =. 7 ~Q C Q . По лемме 6 существует простое слово S и числа ¿ У ^ О такие, что T Q s . На самом' деле И > о , так как С непусто. Можно счи тать, что и с /> О , иначе лемма очевидна. Слово Vl /U, Q - простое по лемме 1 0 . Теперь из равенства T Q - (К u f Q ) a t i s S * по лемме 7 сл еду ет, что К K Q * S . Поэтому C # г (Ц U, <?)* и L - и , откуда и следует утверждение леммы. 2 . У г У !v v[ . Этот случай аналогичен первому. ЛИМА 1 3 . Пусть £- - коммутативная подгруппа специаль­ ного моноида Черча-Россера. Тогда G - циклическая гр уп п а .• ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Последствию 3 .7 из ["20J £ является подгруппой свободного произведения циклических групп. По тео­ реме Куроша Г 5 ] . Сг сама разложима в свободное произведение циклических групп. Хорошо и звестн о , что если группа имеет более о,иного свободного множителя, то она не может быть коммутативной. Лемма 13 доказана. § 3 . Формулировка основных теорем и начало док а за тел ь ства Для формулировки теорем понадобятся некоторые новые понятия. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 . Подотоноиды Н 1 и Иг моноида М сопря­ жены между собой, если в М существуют элементы а , & такие, что = л. Ut и ¿ Hi - H i ¿ ( л И - {а. 1 1 i é Н ] , анало­ гично понимается и На. ) . Ясно, что отношение сопряженности на множестве подмоно- идов из М я вл я е тся отношением эквивалентности. Заметим, что понятие сопряженности в моноидах можно ввести различны­ ми способами; это т вопрос для специальных моноидов исследу­ е т с я в [ 1 8 ] . р члттнойщрм, рассматривая содрал ■я я произвольного 110