Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

по условию леммы 3 . Ограничение Р > У введено .лишь для удобства записи индексов.} ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из леммы 3 следует, что ) В.'Jf-i - А*" АМ А(Н> 4 У - A it Al e . y ) Al(, { У при Y £ t £ p - Y . Поскольку слова - это конш определяющих слов, a Al/tl - начала, Л(Н ) то слова Ас( ЯВ. 1 ЯЮТСЯ непустыми двусторонними при У £ б £ р Тогда по лемме 1 ,W A i f Be, = Л (и Jp °Jf> %-t \R’ ' ч Y £ i £ P-Y Л -i единообразия записи введем обозначения: 2 >с J * ) в: Ш) 'Рс ~ при Y£ б £ р перепишутся в виде Тогда последние равенства м 5 ( i 3 A j p - e +1 Z>t-4 , 1 £ t £ p . ( q ) Тал как ¡О/ &it -^определяющие слова при У < t i p , то из (6) сле.дует, что А,е Ajr _ ¿t, Q - a - тоге определяющие слова .{ У £ б < р ) ; а из следствия 1 Стан как А ц непус­ тые и .двусторонние) получаем, что и ^D( £ lc $ iL яв.ляются определяющими словата ( y £ I £ р ) . Таким образом, при Z £ t £ р слова - двусторонние. Пусть существует ин­ декс i такой, что и У ± р и непусто. Зафиксируем этот индекс. Тогда по лемме 1 м _ М ■A i , A j p . t + j — A l ( - 4 A i g - j * (*7) Рассмотрим равенство ( 6 j . Возможны два сличая: 1 . \ * № е I ; 2 ‘ М / ,- ^ ,1 > /® £/ . В первом случае найдется слово F , при котором £>i - F ■ Тогда At/-, At, - Aif_j A i e Z>, Ac‘e Ajp-/+t F . Используя (7 ) , го.лучим, что в последнем слове выделилось оп­ ределяющее слово A it., B i e_ ,, что противоречит неприводимости слова А,-, ... A ip . Следовательно, случай 1 невозможен. Во втором случае А/./ - i n 2 ZOf F Перепишем ( 7 ) : П .1 . /Г/ Приходим к противоречию, как и выше. * 4 V/ F a B i t _, А Ц , • / АК'., I • е . A " V / = e t e-, IFI > I A ;, _ f I (и) Г н (а) И . 108