Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

.(н) M A 5 K A*.,... 6 ,. Обобщим лемму 2 . ЛЕММА 3 . Пусть А. Тогда л = / . $/п - определяющее слово при любом рассматриваемом значении индекса /а. , слева Ai ...'A¿s A ji • ••4/£ > 4 V f в V* % • •> t г выполнено равенство A i , . . - . причем олова At\ и В,- непусты. Тогда S = р и . Л .Гм) "(к) . ,(Ч) неприводимы и . , (М) _ Лк) ■ AL$-4 Ais - BJp В V f = b j , - 4 - - ' B j f i ) где A L о £ t i f - f ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Индукция по p V i f * < При />= y все уже до- По индуктивному предполо- ( * ) казано в лемме 2. Пусть р > / женш А м ^ в <*> в .0 4 * . Пусть С , тогда из условий леммы следует, что возможны три случая: 1. *«/»-' , 4/, = ; 2 . •? = /’ , 4/1 5 С А 1 р , гд е ^ ^ 1 3 . я > р , = с а 1 Р . . . ^ , лГ/ * / . Докажем, что случаи 1 и 3 невозможны. Том самым будет дока* зана и лемма. К с.лучаю 3 после сокращения сл ева на адово С можно применить лемму 2 , из которой сл едует, что на самом деле $ ~ Р , т . е . случай 3 невозможен. Рассмотрим случай 1 . По индуктивному предположению при р > л ц® имеем 4/.• Сравнивая последнее равенство с _______ я » _ .*> .<“> ,(н) A- F = F À l.- - - A‘i-t ~ Чр 4 ( 4 ) , получаем & = A?' .... <Jl </>-* M-f’ y»,по.этому ¿y, 4,- S /)v _t /}£'_, t " VI -Г- 1 ’ /*) •' ✓ * “У/ ' V-« V и после сокращения сл ева на Я/ приходим к равенству / М Я * ' ± 4 ' , 1 4/, - С , 4/2 ф 1 ■ (5 ) Легко ви д еть, что ^при Р ~ по.ручается то же самое. Поскольку слово См является начатом слова А ¡у.^,, то равенство (б ) удовлетворяет условиям леммы 2 ' Мы пришли к противоречию с заключением леммы тая как в (5 ) а =/ Следовательно, случай 1 тоже невозможен. Лемма 3 доказана. Ш Ш 4 . Пусть выпс.чнены все условия летчик 3 л £ */ ?> / . Тогда 4/> ~ А ; , , В/^.г - А ;еь1 при У •£ в £ р -2 } В ^4 - А Т * . (Заметим, что при S - р - j 'тТСТВО (») _ (к) ~ L\ А'- - вгполне*7-: 107