Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 1994 г.

Доказали, что 7 - - & + • ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2 I , Пусть алгебра 72- - Конечно порождена. Тогда по теореме I С 3 7 /2 - - разрешимый идеал и / V = С <£■ , ^ -7 - нильпотентный идеал. Каждый элемент ^ 'У может быть записан (единственным обрааом) в виде *■ р / ' у > где ^ <3 6 *- и ^ 3 / 2 . , так что существуют линейные отображения 7 и 7 ^ подалгебры ¿ Р у в ¿ 7 и в соответственно. Так как полупроста, то ( 7 ■/ / 7 А ). = ¿з } поэтому отображение > инъективно. Если О, з ¿7 | то 17 ‘ Е р у ,# * . 7 - Е ¿ 2 ? , р я , 7 А У С £>1 3 С у ) Поэтому 4й / Г р , , # 3 > г С Р „ Се) Второе из этих соотношений показывает, что ¿ $ >г, 1 р >х 3 93 £ 7 7 , & 3 - ,\ / % так как ¿-у "1 = ¿ -у , то отсюда следует, что е. и Х для каждого 3 и, таким образом, ¿ 7 г £ & ( 7 ) / 1 / , Мы докажем по индукции, что существует специальный автоморфизм принадлежащий группе специальных автоморфизмов алгебры ■¿г, , такой, что ^ ' ¿ 7 4 где ^ е сть с ,-й член производного ряда алгебры /%/ , Так как и / разрешима как нильпотентная ал гебр а , то отсюда будет следовать требуемое утверждение. Поскольку уже доказано, что £Д £ <£? л / , то достаточно провести один шаг индукции. Мы можем упростить обозначение и счи тать, что < ? , Я & Покажем теп ерь, что существует^специальный автоморфизм Л такой , что ^ О- у - уу 7 , Используя обозначения, введенные ранее, мы видим, что / у / г * & * е ^ * * ^ак Указывает первое из соотношений , ^ можно наделить структурой ¿ V -модуля, положив ДЮ