АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

X ' - X * { t\ * 1 Y - йм.л Y - ( х е Л \ <j C*.)*o «. У j . Ясно, что X ' является лернм подмодулем В-модуля П \ а Y - правый А-подмодуль модуля Л - Пр! этом X ' и Y не обязательно градуированные подмодули. ЕЬли же i J - градуирован­ ный подмодуль модуля Л (или Л * ) > то и W - градуированный подмодуль в Л * ( или Л ) . Подмножество X в Л (или в Л * ) называется V -замкну- тым, если X ш X " ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7 . Пусть X/ _ градуированный В-А-бимодуль и А - правый градуированный A -модуль. Тогда для каждого градуированного А-подмолуяя t J модуля £ \ имеет место изоморфизм градуированных A-модулей /S'= . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку(Функтор НОЛдС- .V ) : <Jx-A B - « j x точен слева, то из точности последовательности О— W M/V — о следует и точность последовательности о - ( Л / W * - 1 ~ Л " - t y * . Если / - каноническое включение, то И * v - homa ( w v j для любого к е А * = НоМдСМ U). Следовательно, U f * - ( U M M » = { k e A * | fef Cxj * f c ( x ) г о V x t A/j = о л л ^ * л / . Итак, Ь * Г = в / . Кроме того, из точности второй последовательности сл ед у ет, что U Г = Таким образом, Л = v % / ) , 4 to и требовалось д оказать. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8 . Пусть V _ такой 'градуирован­ ный б -А -^ я м о д у л ь , чт0 ^ явл яется лх-*ообразующйй в (р.-А- Тогда каждый градуированный полмодуль Л 0 правого градуированно­ г о Л -модуля А является V - замкнутым, т .е . А « atux. rt ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Нужно показать, что если д. - однородный элемент модуля А и x f A o, T 0 х ^ -о л л ^ а п л . , М0) т . в . найдется такой однородный гомоморфизм f «= А * * H c >Aa ( V ел)} что f (х ц ) ■»о для всех х . € Л 0 и f ( x ) - ^ o . Так как х А ^ Л в =Г х А , то С - х А / ( х а ПМ о ) - ненулевой градуирован-