АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

В-А-бимодуль. Тогда для любого градуированного A -модуля Л следующие условия эквивалентны: I) А. 1?-полуреФлексивен; 2 ) нй мономорфизм модуля -М в присущее твует градуированны мое произведение # П V ; . у где V . * V O v ,.) для некоторого цело­ го К I 3 ) канонически!* гомоморфизм градуированныт модулей ' где Н - ^ Н О М ^ множество веет однородных гомоморфизмов и U | i U ( i ( u jf b дли которого •••, f ( * 0 , •••.)* является инъективным* ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. I ) * 3 J . Пусть М V -полуреф- лексивен, тогда для любого ненулевого однородного элемента осеМ. найдётся такой однородный гомоморфизм f e Н , для которого . Тогда и , следовательно, F инъективен; 3 J * 2 ) очевидно. 2) * 1j » Поскольку модуль является 1/-полурефлексивным, to ,в силу леммы 2 , й-Т-полурефлексивным явл яется и любой граду­ ированный A -подмодуль модуля й/-полурефЛекс ив е н. ЛЕММА 4 ( t i l , лемма 3 . 3 . 9 ) . Для градуированного А -м о ­ дуля Ё следуюпие условия эквивалентны: 1 ) Е инъективен в у ь - А ; 2 ) Н О Й дС *,Ё )- точный функтор; 3) для любого однородного правого идеала I кольпа А мор­ физм L * * H 0fiA ( L, 4V ) •H tity A .V ) -* Н0 I олучающийс я из к е - Т [\ ? г и , следовательно, т ионического включения с : 1 —А , сюръективен. ЗАМЕЧАНИЕ . Пусть Я - правый градуированный ^ А.-модуль. Обозначим через Й Д -м одуль Л , рассматриваема* без градуировки* Ясно, что отображение А : А Й определя­ ет функтор А : fi.- А nvofL-A у где г а с ^ - А - категория . правых А -м о д у л ей . Если Ё инъективный градуированный модуль, то модуль Е не обязательно инъективен в категории m o c t - A . ПРЕКЛОНЕНИЕ 3 ( [ 2 ] , следствие 2 3 .8 J . Пусть ОС. - абелева категория, Т : Ot~> (X - функтор я 1 ^ - * Т - е с ­ тественное преобразовение функторов. Объект А е. ( X . назывеется ^-рефлексивным, если fv (A ): Д ■ * Т ( А } - эквивалентность. Пусть О - A l - А л — а , - о - точная последовательность в категории СК. п Т - точки* функ­ тор. Тогда: 91