АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

1 последовательность О - * М --------»- * * точна и ра0» щепляется, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как J y / f t J : t\ -* М ** то r t * 1* - * Л * , Покажем, что jr^C Действительно, пусть дсеДф f t p l / » З с / Ч * * * , тогда Ho (D j ^ C H *) -fjtH ** ? следовательно, ( ( Q (*■) * = ) ’ ^ C x j , что и требовалось до казать. СЛЕДСТВИЕ.. Для любого градуированного модуля Л 1/-дуальны? модуль М * является 17-полурефлексивдам. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу л ем и 8 отображение ’• М * - * Л * ' * является мономорфиамом. ‘ Если B - t j^ - A )T0 имеет место кЕнонический гомоморфизм градуированных колец • В — E A fo ^ jV Jjr** -С^ - левое умножение на & } т р е с т а trfu - ) * 4м .. Градуированный модуль g\7 называется точным, если Y является мономорфизмом, и свалаиси- рованным, если .4* является эпиморфизмом. ПРЕДЛОЖЕНИЕ I . Пусть V 4 0 - i j t - A . Тогдаt 1) ь 6 17-полуреФлексивен в том и только том случае,если ^ - точный градуированный модуль; 2 ) в 6 17-рефлаксивен в том и только том случае, если ftU ". сбалансированный точный градуированный модуль; 3 ) если ЙВ Т-Г-рефлексивен, то и ХСреФлексивен и 1 ^ . . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть J V f B j : S ВV «-НORA(HOrtЛ В V ) 17J , где Jrv ( l i C f ) » (fcjf * & (O f! для все х 6 с в , f с HQrfJSTJj. А поскольку отображение явл яется изоморфивмом Граду­ ированных бимодулей у : H 0 r tB(ft v ) v v , to отсюда следует, что J T j.6 ) _ мономорфизм тогда Т о л ь к о то гд а, когда > f: Й -* * мономорфизм, и - изоморфизм тогда и только то гда, когда if - иаоморфизм. Это доказывает I ) и 2 ) . Заметим д ал ее, ЧТО отображение К ; Т 7 - * H O r t^ B V ), ддсг ко­ торого s few., является гомоморфизмом градуированных бимо- дулей. В силу ^/-рефлексивности модуляв В гомоморфизмы К я ¥ : б / - * » V * являются изоморфизмам. Тог­ да и V - Н О А ^ Ж Я Л у Ч ^ Д У ) -- является изоморфизмом, что доказывает 3 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2 , Пусть VT - градуированный 90