АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

в классе Теперь рассмотрим доказательство леммы 6 длй случ ая, когда в слове }„= X И ~ 1 подслово / удовлетворяет условию Как вняснйтся из д о к а за т е л ь ст в а , вто условие не явл яется суще*- ственным. Пусть см с е~{ (1Н0 ф Е . Тогда справедливо раьен - СТВ° c t t , h \ h ^ .- . h ^ V p , где Ul>Ц е < a ti . , а к > и слово с ~Ctn% Q имеет Но сН 0 наименьшую длину. Изучим соотношение ( 7 ) . Очевидно, оно не имеет м е с т а , если в F . I . Рассмотрим случаи, когда U c=i , в слове c ^ l t , ■■l i t слово с сокращается полностью и И , * 1 .......... Ut * 1 . Т о г д а V f1 и из циклической несократимости слова f / ' u , ... сл ед у ет, что Va Ф / . I/ Пусть C *X ^ 1 , где Х=Хл Хп ,\*п\ФО' Т м д а соотношение (.7) после подстановки в него значения С и сокращения примет вид i A^ 'x"'u1X *{*-X~'..X~, = vc,x X f**... t\>. (8) Так как 3 , ( 4 - Х) * 4 » „ i ^ ’) (р авен ство имеет м есто, если то I v~c XI ■‘■IХ„ } е , Х 11 Можно убедиться в том, что \ire x { * l X k f e <l, позтому <f, = $r И V cX^Xni-A , (9) где Покажем* ч*Ро f РлI ^ I i п | . Допустим, что вто не т а к : lb»U|in|. Коли |)-л|=1М. то слово h свободно СОКраТИМО. Пусть PA=4n-**~j где . Полета!ив значение /л в (9) , получим, что ri=1 Если i A= fn ‘ X ' ' , то,и спол ьзуя ( а ) , получим, что x ~ i , Аналогичный случаи имеем, если 1Л=£п * ч щ\ где и ,-и , и ", 1и< Пусть Ь * 1 п Х ' ' и г .К< , Х = , тогда равенство (9) примет' вид: Vi X ® h Х ч и ,х 'л ’1 ак как 4г„(г ‘ < К * \ Х л ) то полученное равенство при условии ( у а | * 0 невозможно. Отсюда 1 К И Ч . О учётом равенства (9) выполним сокращение в ( 8 ) . Последнее преобразуется к виду: ( ю ) Из условия /#л/< /-^пI следует i n -^л h i , где к ^ 1 , I И„1<|Рд\. Можно так же, как рто сделано выше , п о к азать, что |# а I * IР « I •' Отсюда следует, что f /А1= I i а I и h\~En . Но тогда слово 4 с~ У #А X 1 в силу соотношения ( 9 ) свободно сократимо, что 9