АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

содержащая единицы, является Г £ С -полугруппой тогда и только тогда, когда ^ Д , S = 0 ■ (1 2 ) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Прямая часть утверждения очевидна. Обратно, если выполняется ( 12) , то для любого эле­ мента r n . e S найдется такое натуральное число К , что ГК £ S * \ $ K* Y. Тогда Ш - S , . . . , где S t- £ $ \ S 2 , и любое разложение элемента Ш. в произведение элементов из S \ S 1 имеет длину не более К . Поскольку в конечно-порож­ денной полугруппе множество S \ S ‘ конечно, то отсюда сл ед у ет, что произвольный элемент имеет лишь конечное число разложений в произведение неразложимых элементов. Остается применить лем­ му 8 . Леша доказана. Следующая теорема немедленно следует из [1 2 ] и леммы 9 . ТЕОРЕМА 4. Пусть S - произвольная конечно-порож­ денная F £ С -полугруппа без единицы, Ф - множество всех Гомоморфизмов S' в конечные нильпотентные (не в сш сл е Маль­ цева) полугруппы. Тогда S аппроксимируется о помощью гомо­ морфизмов из Ф относительно предикатов р авен ства, делимос­ ти* вхождения в подполугруппу. СЛЕДСТВИЕ 3 , Пусть П - любая конечно-порожден­ ная полугруппа с малым налеганием, не содержащая единицы ( т .е . пустое слово не рассматривается как элемент полугруппы,). Тогда П аппроксимируется конечными полугруппами относительно пре­ дикатов р авен ства, делимости, вхождения в подполугруппу, сопря­ женности первого рода, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По следствию 1 полугруппа с матым налеганием явл яется F Е С -полугруппой, поэтому дос­ таточно применить теорему 4 , О стается доказать финитную аппро­ ксимируемость относительно сопряженности первого рода. Обозна­ чим через П * полугруппу, заданную тем же копредставление^, что и т 1 , в многообразии, порожденном тождеством Xf . t . — У , . . , YH для некоторого К . В Пк тоже можно епледелить отношение сопряженности первого рода. Ясно, что Пк - конечная полугруппа и существует гомоморфизм П на П к , при котором сопряженные элементы переходят в сопряженные. Если же какие-либо два элемента не сопряжены в П , то , по следс­ твию 2 , можно подобрать настолько большое К , что образы этих элементов будут не сопряжены в Пк . Следствие доказано.