АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

Леша доказана. Л еш а 8 является частным случаем леммы 6 , когда в Sc =x h ' f J<= /. Предположим теперь, что лемма Ь справедлива для случая, когда 1x1 < п 0 . Докажем её при условии |х| = Оо , при этом f циклически несократимо а Обозначим сумму показателей по Я и а .’ ’ в слове ил через ЛЕМлА 10. Пусть Н0- < а , , . . . , а к> i 0 > - подгруппа Г , где /в 4 а к > , y 0 = x / jr ' , х = а т х , , у циклически несократимо в F . Т о гда, если % * ( * ) * ° и для некоторого г имеем Н0сЦ?Н0, сНс с У? Н0 ф Е , то сН0 с~ *пН о - циклическая подгруппа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как сН„с'< ()Н 0 4 £ , то t o ’ и , //'г/, < r'= vc i f ' t r , ... ( 5 ) гд е iu ,v j- e < Q ,,..., а к >, . O i/ л р , ei = ±tj t y = ± ( Рассмотрим в F нормальный делитель JV , порожденный образующими Ч Ч - , а к , fy+ r, Qm+t, а», с системой ирейеровоких представителей { a m } j e Z ■ Введем в Ж новую'систему образу­ ющих с у { т Ц , / е / . Левая и правая части равен ства (5) Принадлежат Ж . Поэтому, при­ менив переписывающий процесс Г , запишем эти слова, в новых об­ разующих. свободной гр.уппы Ж” .. При этом возможны два случая. I/ Пусть тогда с е л 1 . Подгруппа х (Н 0) порож­ д а е т ся элементами Qt01- , a k o ,T(f°), где Т ( h ) = т (хН ~ ') = 7 1 г 7 7 и слово X в новых образующих Ж имеет длину меньше Пс , по­ этому в силу индуктивного предположения 1Ап$(£(№(н0)т(сУ',ат(Ц$)х.и ?,/ П усть £ат ( с) = ^ , где Р > о . Если >><о , то рассматри­ ваем соотношение с ' Н о С П Н 0 Обозначил через с, = с а ^ ,‘> и преобразуем соотношение (5Д следующим образом: с ,(О п ,(и а / / ч 4 * 4 ф и г№ ? ) с Г ш гг (5) Перепишем слова С, , ( % 4ъ'. ^ * и г)<2т , f 0 А > Fc Ру-рf едитьс содержит I — ------ , , ■ ' v применяя процесс Т , в образующие <2у . Нетрудно уб я в том, что слоге Г ( с>т (и<, Ъ>'и,... f f и , ) а ^ 1) образующие < у , которых нет в несократимой записи слова T(v0 if* ,.. if'V p). Но тогда данные слова не сопряжены в сюбодной группе. Ж. Следовательно, в рассматриваемом случае с Н0 с ~ 'П Н о - F . Л еш а 10 доказана. О