АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

«мучай. ЛЕША 9. Пусть Н0 t , как в лемме 6 , с минимально в двой­ ном классе смежности НдеИ0 и Нс сН0 ф ндна Тогда если сНоС^ПНо *£ , то сНдс-< ОН0 - циклическая подгруппа в F. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что пересечение подгрупп с H o d И Но не является единичной подгруппой, тогда имеет место соотн о­ шение (I ) . На основании лемм 7 и 8 соотношение (I ) примет вид CUeioU, to г/д, ... 4 Ut C-'mVe /,Ч 4 - (2) В котором слова 4ctcU ,tg h>Ut и V f t 0 Vt .. циклически несократимы в F и , как следует из доказательства леммы 8 , либо Uc=-Vf i = f , л и б о ire ~ u t *t. Пусть В силу соотношения (2) каждое из слов 4 и , h чг t0 u t , ц У, у,... Л, равно циклической переста­ новке ДРУГОГО. Для простоты предположим, ЧТО ^с-Огп А2Л,^тогда с ~ат с 1 а ъ Учитывая ( 2 ) и условия минимальности длины с в двой ­ ном классе НасН0 , получаем, что с * 1~'л и А, = tOA v0 to& ton} где Нс лЫЫоп! , V»»* * < a , t a x ,■■■,<**>> t0A* a m Кл а т> toe * Л/п $ос , ten - toл , /Joy I * Ц Ш ] . Обозначим через число букв а и а ' в овободно непри­ водимом слове *v . Подставив в (2 ) значения С и /о и проведя с о ­ кращение , получим равенство toc А4л и, 4 ^ 4 и, /ол = toy, Votoe* *олЦt„ti . 4 (3) Из ( 3 ) , учитывая, что V/ ><«'., де*} (ton Кt o y ) - (4л Vc /ос ) И что / о с * toy и 4 л *5 4 с начинаются и эаканчиваготоя образующим Я/п. . получим: toe А4л = toy, Vc ■toe • (4) Учитывая ( 4 ) , из р а в е н с т в (8), получим У - и ,= =ut > v0 = v,= Из соотношения (4) на основании леммы 4 следует, н о , > слово to примет вид toy К foe to л . Подставив вычислен­ ные значения К , Ц в (2 ), получим, что равенство (2) одно­ значно определяется словом t0 и cH0 c-'t)Ho * < we h Учитывая значение и соотношение i(4), получаем, что под­ группы с Нос 1 и но пересекаютоя по циклическим подгруппам < с/ 0 гг0 с , < V h > . образующие которых связаны со о т ­ ношением с U Vo С * гг* h . Если какое-то и, =1 либо Vj « / , то из (3) получаем * -< /, = £/,= = А 7