АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

Если j * <■ и k,kz ФО , то легко убедиться в том, что г~'Н2 ПИ - Е ( Е - единичная подгруппа). Если < = / и До = ^ ■£ф( , то Ж *НжПН = < d p > . Лемма доказана. Из леммы 5 следует, что вместо теоремы 3 достаточно доказать справедливость леммы 6 . ЛЕММА 6 . Пусть F = < a i,Qx , . . . a n> - свободная группа и H o -<a 1,...,a l(,*o(ch. ~ .a k )> -п о д гр уп п а F , где к < а и ,a n ) ? < a t l ...,а к >. Тох'да, если для некоторого 2 eF имеем Н„*Но ФНоНо,?0 ra n g U пно )* {. ЛЕММА 7 . Пусть .... <?*-, fo > - подгруппа свободной груп­ пы F - < a , aX i cin > , t0 4 < a f,...,a k > , k < n , и S0 = a * ,'fa f* j где , причем если ™ =•? , то k,kx > o . Тогда, если для некоторого c e F имеем Fo cF0 =Фн0 н0 л сНие'<пн0 # Et С - наименьшее в двойном классе смежности НвсН0 t то из соотно­ шения ,е, ,е, „ . / ,t , cuai 'it,i 0 lux... f *-utc ’=v 0 f 0 цР 0 г г£.../<> где Vi, о ^ Ш , vj\ O ijip } и i , i i e < f, = *1, <I) ... =A P сл ед ует, что *, =<* = =et~ «*,” ! ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.. Так как С имеет наименьшую длину в двой­ ном классе смежности Н0 сНо , то с = а ^ с ,а у , где зе *> , £ = ± f t p i - ± l , из соотношения Ш ввиду т о г о , что ц ^ ' е<а»..~А>, O i i i t , O t j g p , и ввиду минимальности длины с в И0сН с сл едует, что кавдое?слово 1 имеет общий конец либо общее на­ чало с некоторым i0J . Поэтому £, = ££=•" = e t ~ ~ К ~ " ' ~^р ЛЕММА 8 . Пусть И0 ~ < а 1)...,а к ,Р0 > - подгруппа F , fQ , как в лемме 6, и С удовлетворяет соотношению Ио сН0 рН 0Н0 и условию минимальности в На с Н . Пусть также сИ0 с ' 1ПН0 Р Е , то есть в F имеет место соотношение ( I ) . Тогда слова Ц,F 'и, i** . Р0ftu t г Vc F0 'IP, Fa *■... f/ nVp циклически неприводимы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как отмечено в доказательстве леммы 7 , с можно выбрать таким, что с - а ^ с , ^ г где ^ , Р е { т , & У Из леммы 7 сл едует, что £, = ■■•= ^ . Поэтому если Uc^Uf^Vo-Vp^ f, то утверждение леммы справедливо. Если в соотношении ( I ) и „Ф/ и и( Р1 , то vc~ lrp =1, f0- Z F l r, X P i , где 2/з~* - свободно неприводимое в Г слово. Но это не­ возможно, так как по условию леммы У0 циклически неприводимо. Если UoPl , щ - < , то Vc - 1 . Отйюда следует справедливость леммы. Если U0 ~ * , ut * 1 t то Vp = i . Получили аналогичный 6