АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

Из соотношений ( f i s t ) 9, = £ * -= 1 следует, что любой элемент из А имеет вид £ = VCsi) или Z - V fS i)£ ( F ( s £)- слово в образующих S j ) , а элемент только в образующих St можно представить в форме у = •S ;£ = \\Г , гд е W e.M . Если рассмотреть фактор-группу А/М , то полу, ч ается , что s i й М и поэтому записать элемент <|= S^ 1цг можно в виде S ^W ! »С= о, 1 , . . .,14 и V e М . Эти факты используются при рассмотрении членов нижнего центрального ряда группы А . А% = [ A i A j порождается kommj . таторами видов: . Каждый коммутатор, используя указанный выше вид элементов у и г , можно преобразовать к форме s f * W , где W e М , Так как , то можно считать что K - O t i , , 5 . 1Ь индукции получается* что любой элемент из A i - произведение рассмотренных коммутаторов - имеет такую же форму. Составляем далее коммутаторы из А о , - С А^» AD . Те же соображения, что и для Аг , Дают для коммутаторов вид S * * W • где К = 0 , 1 , 2 и W e М * Снова индукция даёт такой же вид и для произведения коммутаторов. Предполагая, что элементы из /4ц, имеют вид V , где к - 0 , 1 , 2 , и W £ M » сначала для коммутаторов из Д ^ +1= а затем индукцией и для произведений таких коьмутаторов получаем вид S i * W Таким образом, Любой Элемент из любого Ац_ имее: вид s j * W * где х и W как и выше ( эти элементы, естественно, принадлежат А , и )» Значит, если х е п / 4 Н , то x = s f K W ; « = 0 , 1 , 2 и W e M . Отсюда С 2 П , / » * ' ' . - Будем далее доказывать обратное включение. Для этого сначала покажем, что s,u e Д 4 при К = . 0 , 1 , г . Действительно, S * —S i t s ; 1£ £ [ А , А ] = А г " . От с юд а ^ £ /\ г , а также s , * e А^ . Аналогично S ? = = s.2 f s , 2£ 6 [ Аг , А] = A j A 3 ) , е [ A 5 ) A ] = A 4 * T f Kga K S1 6 ^1 , TO A a * Поэтому из s t a g ’ s , получаем, Ч ТО S i £ A 4 . Дальше по индукции. Если S ? и S ? e A n , » то s f = :S ? £ S ^ £ e C A * , A : i - A v r < и снова из s ^ e A ^ H S f V= - S f - s f следует, что 6| € / 1 к ,( . Значит, s ? e А и МЯ вега и. ; и s f = 0 * ) * £ Aiv • Е°ли s i < ~ A * * то s f = s , u G , 6 А *.,. Таким образом, s ^ e ( К - О , i , t ) для любого tv и, следовательно, s.*^ е ^ А.. ,