АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

ЛШЛА 3 [2 ]. Пусть несократимые в F адова X , У , 2 удов­ летворяют в F равенству X Y = 2X , причем между X , Y и 2 , X нет свободных сокращений. Тогда существуют слова u , V £ F таки е, что Х= (u v и. , Y - ( l ^ y ^ , 2 = (u if)H | причем между и , V и V , U нет свободных сокращений. ЛЕММА 4. Пусть в свободной группе а п » имеет место р авен ство X Y 2= 2V x , гд е У, Ve<au...a k>> к < п , X , 2 * < a 1t , ан> и X-aa X(lp ,2=a^Y'a^, к«а(*р<п либо к<р4<*<п. , причем приа'-в Тогда V^V . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведем по длине слова X . Пусть |У1=0 , Тогда имеем равенство Y 2 & 2 V , из которого следу­ е т , что V ~ Y = 1 . Пусть утверждение леммы справедливо для случая, когда (Х/с л 0 , Докажем его для IX hna . на соотношения YYI = 2 УХ на основании леммы 3 имеем 2 - ( и и ) ! ,и > VX=(tru)p> X Y = ( u v ) p. Из первого равенства и из строения слова 2 сл еду ет, что tt-^ u h p Из второго и третьего равенств вычислим X . Заметим, что М * М , поэтому если У - гг , то К=гг . Допустим, что IY/</trl, /у / < /г г / . Тогда ir= V ,v t 1 гл , V, v ^ Y , и так как trc * с ^ ' а ^ , тоЩ№ 1<ЦМ ]. Заметим, что й - а л и ’а^ . Получаем ii Vvc -tf-Y u fy ^ Y u )^ ! При любом IXl=l(uYi^YJp 1и У ц 1 > 1 Vi% /*/t£ YI, Щ Yu. = и Y tc Из полученного соотношения, удовлетворяющего условию л е т а и ин­ дуктивному предположению, следует, что Y - V Пусть Н 0 -<Ц,..., о к , - подгруппа группы Р и Н < а , , . . . , а „ > , к < п ; пусть также ,<?/* j ( a , ,. .. ,c i n ) > Т о гд а, если H0 iH g * H o H„, то Н гН ф Н Н , z e F . ЛЕША Ь. Пусть ген„ я Тогда rang(г4Hi ПН)& /. Д оказательство . пусть и ^ е < a , , a 1 , . . . , a k >J 4 > * а /пА Л »Х, к < т * 5 £ П , £ с ~ ± 1 » 1 = />г Тогда в качвстве образующих Н0 возьмем слова а ,,0 ц , >а *> f ° Предполагаем, т о ж Н слова а , р' , 0 ^ , . . . , обра­ зуют нильсеновское множество и для некоторого! я*Н0 выполнено у с­ ловие Н гНФНН . Предположим, что олово 2 имеет наименьшую длину среди слов двойного класса Н г Н , Тогда существуют < 'J для которых IP iH -< и l p jl * < t к , г -* a ^ Z o t y 1 , где ■j