АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

Л 1 » А 19. Пусть группа < г*<^ F< > Щ ~ % { e J,i , / с ^ > ~ е„тЬ древесное произведение свободных групп Fi , с = Ц г , с о о т - веТСТВенно рангов Я , , , с системой свободных образу­ ющих { * i i , определяемое системой ассоциированных ПОДГРУПП { Щ . U jJ . , L tJ, . Г Д e U y <Fi , t y <Fj . И фиксированным множеством изоморфизмов y fij) ; L ^ t , гд е каждая из подгрупп Ц , < /у имеет вид 0 $ У ц ,...,* 1 т > , P i t ^ l . t * S * m . слементы Wr Wz eUtj < Ft сопря­ жены в 6 тогда и только то гд а , когда W, сопряжено с ^ в Lfy. ДЖАЗАТЕДЬСГВО. Предположим, что утверждение леммы справедли­ во , ко гд а число сомножителей Г; группы G меньше п . Так как (}' е сть древесное произведение групп Fi , U t < n , с объедине­ нием по ассоциированным подгруппам {U y / , то (? со о тветству ет граф Г , вершинам ^ которого соответствуют группы F i , а каждому ребру, ограниченному вершинами - подгруппы у ■ < f j i U j i < f j , объединенные по Фиксированному изоморфизму Пусть Wh < Fio и пусть из точки <^0 выходит Ь / ребро. Тогда F(0 содержит подгруппы. U ^ jc , ........... Ц ф , принадлежа­ щие множеству ассоциированных подгрупп группы G . Допустим, что существует тако е, что 2Иф? , г д е * = # - $ у - слово из <?, в котором каждое . принадлежит некоторому сомножи­ телю Fp - нормальное представление 2. в & . Будем предполагать, что $ л ( ^ , хотя вто требование не являетоя обязательным. Разобьем Э. на подсл о в а : i t 2 t-i~ $lt*l'" $ it-ry " fa < t e f a t + t ' f a , г д е f i M =#0 и S , S 0 e f ^o и 1 0 . Каждому Z i поставим в соответстви е минимальный связный подграф Г , с Г , которому соо тветству ет подгруппа \ Gy. < (J , являющаяся древесным произведением сомножителей Fj с объединением по U iJ s , Z i^G -ft. Заметим, что для указанного графа /| вершина и из & i0 ц Г- выходит только одно ребро. Обозначим через подгруппу, соответствующую ребру мз П. , выходящему из вершины . Проводя индукцию по II 2,11 аналогично тому, как зто делалось в лемме 1 6 , можно п о к азать, что д ва Р л е- мента vV , w ’e ^ ^ < F ^ таки е, что 2, W l-'s iv ' , будут сопряжены в подгруппе Ц е/Л; . Коли подграфы Г; , П +i таковы, что Г, , где Гу ТО и в «том случае Рлементы W j , U<-0jZ t . Для которых i t. ll l '^ 3 Li <^ - w ‘> попряжены в ^Laj i i ■