АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

Пусть //*,//>< , HWtllx и Mfr'. &>, где адова wt 1 ии* представлены в нормальной 4орме и каждое из них цик­ лически несократимо. В противном случае приведем их к такому виду. Вели 4 wJ^ri-*n'=HWj_ui то СЛОва w< f ^ заменим соот­ ветственно словами Щ п‘ . v> 4 '= и/,". Поэтому будем предполагать, что Миц/Млу и что ffn,9 'n efrn допустим, что для некоторого m слова w/” , сопряжем в группе <5у и, как следует из теоремы 4 , iv,'1 можно получить из \л^'г некоторой циклической перестановкой слова W* и сопря­ жением элементом из объединяемой подгруппы. Предположим, что циклическая перестановка слова w f есть *v_ Выясним справедливость формулы: Jh, Ц : = 2 'n h Допустим, что такие Х а h существуют, Тогда сопрягаем слово Wt элементом Л , получим k *k%' fcl.rfn, где Л =А A , fn-i *9п-1 ¥(х). Допустим теиерь, что справедлива формула: 3t *Ц : . . f c g j i ) n, где Предполагаем, ч т о , на основании теоремы 3 пересече­ ние есть циклическая подгруппа, порожденная влементом^4£<*А,' Поэтому й - Д О А » J'rt'J *. Перепишем слова *4} и tax • Пусть г \ г щ М . Покажем, что в этом случае справедлива формула: ViJ(x4^ i ) l‘w,'*t<hb>i Действительно, так как то V* , 1<кт fn)1, где i,f U , , и так как <£■ ■ (? ,...§ » ) “ [ I { . , * Ъ , To2ie<А ,>• Отсюда на основании леммы 13 следует* что покаэател! т в соотношении#-'^ '*) *tv,7 если это соотношение выполнено, ра­ нен 2 t , t - любое натуральное число. Следовательно, вели Hi не сопряжено с W, и Щ Г токе не сопряжено о элементом v*,L из U, , то любые степени (Щ )‘ и f и/,J ‘ не сопряжены элементом из Р) . Лемма доказана. СЛМСГВИВ 4 . В группе £*<Q,,...,0n,pl‘l;Afa,...,an'P)*f}fafl..,4n,'?J>l где др (Ю*0 , разрешима проблема степенной сопряженно­ сти слов. Лемма 16 допускает следующее обобщение. 34