АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

Иэучим соотношение (49) при различных значениях т я у . 1 / Пусть СЛ* * А , где Хл = Х ;х " . Из (49) получаем: Х Ч ^ Х Л , * » . \ Ш О . тан. как в противном слу­ чае* слово / 0 будет свободно сократимо. (a j) Пусть =/ _ Если у»/п , то из (49) получим равенство )Af n ~ U h , а из него f A* 1 . Если y < n ~i-> то из равенства in .f= iA)n получим h ' * z , 1 > 1, И слово £а свободно сократимо, что невозможно. (а^)Если Р, » - ( , то при из соотношения (.49) полу­ чим ) = < , а при у -т . получим f a = ( , что невозможно. Случай, когда |XA|<IQ(*/X/ , аналогичен предыдущему. 2 / Пусть IX |<|СА| < Ш Ы ] Рассмотрим соотношение (49) при условии, что . Легко убедиться, что тогда Pt =X и /С*Хя (< IXfX ~fl i |СлХо ( a j) Если X fX = САХ „ Г * , где H t * r n , то получим слу­ чай (Л, 2 ) , который, как показано, не имеет места в свобод­ ной группе. (а2 ) Допустим, что X f X 't C , Х„ j , где ( < п г , h i A^n, Получили случай (П .З ).Т а к как при рассмотрении последнего ус­ ловие Пд|« 1 *п 1 не существенно, то рассматриваемый случай как следует из СП,3 ), невозможен. (а 3 ) Пусть X f X '•' = Сл Хп f mf A. Выполнив сокращение в ( 4 9 ) , получим: X‘ 4 t i+ . X -\ .M t C ^ t r t X i * ч \ ...X f Ч '! (50) Допустим, что U *l< | in | . Т о гд а, как следует из ( 1 ,3 ) , соотно­ шение (5и) имеет место в свободной группе, если ГО Н * Ь * " * , * ) * ' К п , иЛи есл11 ( и ) ^ ( Ъ * Х - >ц Ш ц х ) * ' р „ П) *v~p, причем в первом случае , во втором - yA= in n X''vt Xf-'A , где )А- ТАРА, и выполняется со­ отношение /; V, X f'nn X f'nn х -'trt X i\ Пусть имеет место случаи (О j подстанив значение -f в соотношение X fX '= сл Х„ i получим равен ство: Х ( К п Х - ' « Х ) ^ Х - ' ~ С л Х Ж „ Х - и ’;Х ) к,/ и п1К Л ' ! (61) 19