АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

. M > ( u in l> x \ M C x \ x ) k 'Kn t \ ... • ^ X \ C W - m H * * M W i ^ X - % W b X i r o X ) * ' C * \ . > . <42) Пусть в C4 2) £f = i , 4 { . Если СЛ~УЛК^ , у л , ^ | « , то на (42) получим равенство Х'йК"п f L * n ^ X ' n К п <V^V> из которого следует, что X ^ l . Если СЛ ^К , то имеет место равенство Хц Уп,* У п п X *, из которого сл ед у ет, что Х„-< . П у сть< * • * ¥ „ ,, где Упп* 1 ' Л п Подставим С=ХгппХл в соотношение (4 2 ). Если Ut *1 , то из (42) имеем .1 ... т , =. L ^ L - V i a С , откуда на основании леммы 3 получим fnn : ( u v f u , •' X ' % ^ ( x m ) ky Xn^lin ш (UV)*. (48) (4 4) (46) (46) Используя (46) и (4 6 ) а вычисляя из них соответственно Жп и Х„ и К п • С • можно убедиться в том , что_соотйошение (4Э) ие име­ ет места в свободной групп е, когда Хп , i'nn - непустые олова. Ьсли в (42) Uf+ I , то после сокращения (42^ на СА*Х%, получим равенство *„ Vnn rntl* ' X Хл = Т„п X 'V e КА X* Из него сл ед у ет, что _ Xn ^ n = ,v f (47) 7П' Пх ; ' х ; Ч х Л= С 4 вз Подставив в (42) значение СЛТ„ '= * л %и X > вычислим из (4ё) затем подставим значение Х„ У„п , равное vVl , и зна­ чение в (4 2 ). Ь итоге получим w = f . ЕслиС^'Х^пя, t o , так и е , как и в предыдущем случ ае, подставив данное значение Сл в (4 2 ), получим Упп * f . Для в с е * остальных аозмоиных значений Сл , удовлетворяющих условто |СА4>(Х тоже получим . Случай, когда , ?,*= -! , невозмоиен, в чем нетрудно убедитьоя. В случ ае, когда inU ,X r'H i», аналогичным образом у б е г а е м с я в том , что при вое возможных значениях Сл соотношение (36) невозможно в свободной группе. 1У. Исследуем соотношение (35) при условии: « .» £ / , = ■ 0 « } < p Пусть СА*Х д , Х*Хл Хп , тогда соотношение (35) при С ,* 1 примет (49)