АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

где S > / . из coo тно sit иия (УВ) сл еду ет, что Xrti<l Допустим, что Л Т о гд а, используя (ЭВ) , можно пока­ з а т ь , что Л ,*< . Вели . гДе 3 * * ' * , то /с - свободно сократимое сло во . Коли СЛ^Х , то, так как |Уп|-< ? ) * / . И атом случае из соотношения (ЗУ ): х п н ; % ' и , х . . . = (39) получим Хп - М * , где . При значениям (k y < s-1 слою Уо свободно сократимо, при у = $-1 из (ЗУ) Получим Ул = У. ta3 ) Допустим, что |Ж/ /СП « [ s l - M l Вели Щ ^1 и то существует некоторое разбиение У. на не­ пустые куски: fn , гд е / . Поотому в соотношении (35) V, * 1 и 1& *ь1< IX f > Т '} < I Сл XIX -у Предположение, что X f h / ' L С„ yn f или , где X = IV невозможно, в чем легко убедиться, используя (3 5 ). Пусть Х }*'Х ч *Сл Хп Уд , . Тогда соотношение (3 5 ) после сокращения примет вид: M ‘ V ^ X ' 4 . . . Ф х \ с - % 1 г 1 х ^ х \ . . . х ^ Х ' ! т Заметим, что зд есь ?л =/ . Допустим противное. Так как Мв* '1>|г,Х1, то , где У „ - 1'п f " и , откуда /А'=У= У. Если в соотношении (40)|/я1>1Та1 , то, учитывая равенство ( Г '- tj)(#A , где f =/; )'п и |< |in | , получим и , У I b x 'u i . . . X f f , r fu t С *'» r V 4 Xf *JT7 MI) Соотношение (41) с точностью до переобозначений аналогично (4 0 ). Учитывая, что I ) a |>U a I и , из 141) выводим |1«1>|и, X (, f j» ( В результате соотношение (35) , как показано выше, приводит­ ся к ооотношеншо ( 4 0 ) , если |#A.l^Unl , в противном случае -к (41) И (4 0 ), и (41) совпадают с соотношением ( IB ) . Допустим, что соотношение (41) выполнено в свободной группе. Как следует из ( 1 ,3 ,а) и ( 1 ,3 , в ) , в ртом случае ^ =■=<?,, = ?г= ■ •- - Д и iun £д=... * е ( =♦j»--- = jf , , £/, =•■ = гД/i У*()пв.У ''u,Xi\u X) }'„П} причем в последнем случае должно выполняться соотношение * 1 и № ,я п * ' ,'& п Х ',и1* К . Подставим i„ в соотношение (35) и исследуем его при р аз­ личных значениях СЛ , В первом сл у ч ае соотношение (35), будет иметь .вид; 17