АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

Следовательно, ( G ( U I ^>J %)У‘ = й ( /, Д “О , т .е , это сопряжение меня­ ет местами и К . А так как полученные перестановки порождает все перестановки из трех элементов, то лемма доказана. Согласно лемме 3 осталось рассмотреть случай, когда среди значений J. , р , f два оказались во множестве и одно в F} . При этом можно считать, что в Fz попали ^ и % , а в Fi - / . В этом случае пары изометрических окружностей для /*> и К будут пересекаться с прямой P e Z = - j , значит, могут пересечься друг с другом. Поэтому требуется усилить теорему 2 , чтобы можно было ис­ пользовать ее для построения областей Рх и Д . В условиях тео­ ремы 2 требуется у к а за ть, в каком случае к области Р можно доба­ вить участки, заключенные внутри изометрических окружностей К ( 2 >) или К (.Т У 1) , чтобы условие ( 5 ) по-прежнему выполнялось. Рассмотрим случай,когда ч асть Р области Р оказывается внутри окружности К ( Х > ) , см. р и с .4. Цусть Q ' - образ подмножества Й? при инверсии относительно окружности К(Т> ) ; это множество лежит вне окружнос­ ти K ( V ) . Тогда подмножество Ъ < $ , симметричное (%' относитель­ но прямой L , лежит вне изометрической окружности К( D ') . Для выполнения условия ( 5 ) при п = 1 подмножество Т> 6 ) должно быть исключено из Р , Если потребовать, что 0Й? лежит вне изометри­ ческой окружности К (О ) , то при всех окажется внутри окружности K(b'). ото обеспечит выполнение условия ( 5 ) при' всех п L . С другой стороны, D p лежит вне К ( Ь ) Тогда и только тогда, когда Р лежит вне Р ЧК (£> ), Так как Р лежит внутри окружности К (£>) , то V ' P попадает внутрь У) 'K (D ) ; это Же верно для всех Т Т р при т - 1 . Следовательно, для выполнения условия (5 ) для всех пФ О достаточно, чтобы Р лежало вне окружности D ' k CD?) • Отметим, что У) К(Ю) можно получить инверсией окружности K(D ) относительно окружности K (D ) . Получено следующее усиление теоре­ мы 2 :