АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

то в качестве Р1 возьмем внутренность объединения дополнений к множествам Рл и Р3 , Р, = У ц { (Рг U Р3 ) . Тогда условие ( 2 ) вы­ полнится для всех . Останется проверить выполнение условия ( I ) для Pt . Это нетрудно сд ел ать, так как преобразование Аи - это сдвиг на U . Зададим теперь области значений и Ну та к , чтобы никакая пара изометрических окружностей для р не пересекалась ни с какой парой изометрических окружностей для 6 . Для этого проведеи на плоскости прямую 2 = - j , относительно которой симметричны точки 0 и - I , являющиеся общими точками касания соответствующих пар окружностей. Условимся, что любая пара окружностей для р ле­ жит правее этой прямой, а для - левее е е , причем возможно ка­ сание прямой и какой-либо окружности. Выясним, при каких значе­ ниях р и f это возможно. Пусть прямой Р х Z - - j касается изо­ метрическая окружность А ( Вр ) , см. р и с.1 . Пусть числу р соо т­ ветству ет модуль р и аргумент У . Имеем условие -JF ^ f -s j F , так как в противном случае касаться прямой R i z = ~ I будет другая окружность А ( & р ) . Центр - р окружности К ( В е ) имеет модуль -д- и аргумент V - Y ; в случае касания прямой R l Z = - £ эти параметры связаны соотношением р ( Т - - р - ~ г , т .е . /> - 2 ( I + ей У') ■ Это уравнение,йардиоиды, проходящей через точки 4, ~ 2 с . Так как мы рассматривали только случай - j F ^ f ^ х , то нужно брать часть кардиоиды в полуплоскости R-t Z ? О . Для точек /3 с R * p < 0 получается полностью симметричная картина, см. р и с .2 . Для любой точки р на линии, изображенной на р и с .2 , однаили обе изометрические окружности А ( 8 $ ) или К ( е ; ‘) касаются прямой R xZ ~ - j . Если же взять точку р ' с тем же аргументом, что р , расположенную вне этой линии, то ей соответствует больший модуль. Тогда окружности К ( 8 ^ ) ъ К ( Б ^ , ) имеют меньший радиус и располо-