АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

получившуюся точку относительно прямой L . Для параболических и гиперболических дробно-линейных преобразований В изометрические окружности K ( D ) и K ( D 7 соответственно касаются или не пересе­ каются. Поетому при любом целом П Ф 0 для точки Z , лежашей вне обеих этих окружностей, образ D r Z окажется внутри окружности K ( D ) при П > 0 и внутри K ( D ) n ри П < 0 . Отсюда вытекает сл е­ ду пцая теорема, с помошью которой обеспечивается выполнение усло­ вия ( I ) теоремы I . ТЕОРЕМА 2 . Пусть . п ~ { ас $ ) > где a d - S t - i , С Ф О - параболическое или гиперболическое дробно­ линейное преобразование. Для множества Р , все точки которого расположены вне изометрических окружностей К ( В ) и K ( V 1), при всех / 1 Ф О выполняется условие д ПР (\ Р = 0. <5) Группа ft) порождается параболическими элементами, и к ним применима теорема 2 . Для преобразований в и и изометри­ ческие окружности имеют уравнения 1 / 2 + 1 \= i и ( - / 2 +/| = 1 соответственн о, илр |2 + р ) — )р\ и , р . lf}} t Эти окружности имеют радиусы ^ и центры в точках - --- и д - соот­ ветственно, следовательно, к а у.?ются в точке 0 . Изометрические ( г - i u X * Г 1 р Г окружности преобразований С U 2 + i + = I С -у , и Cv имеют уравнения и |- ^ 2 + J - t \= / , или Их радиусы равны , центры находятся в точках у и - у Ф у , они касаются в точке - I . Гру ппа G U j P , i ) порождена своими подгруппами G i ~ (} p ( A j ) , &г = р р ( В р ) , Пусть Л , / , } принимают значения из некоторых заданных областей , Нр и соответственно. Возь­ мем в теореме I в качестве множество всех точек, расположен­ ных вне любой пары изометрических окружностей где I в качестве Р3 - множество всех точек, расположенных вне и щ ') , где К<£ . Для Рг и Р3 выполняется условие ( I ) . Для них же выполняется условие ( 2 ) , если никакая изометри­ ческая окружность для / не пересекается ни с какой изометричес­ кой окружностью для } (касание возможно). Если это выполняется,