АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

а так как a , P i - открытое множество, то a ‘P l £ M ( a p J 7 p . Здееь используются обозначения: УПС Л - внутренность множества А, СЛ А - замыкание А, А - дополнение к А, Заметим также, что, так как И 2 3 , то % Г P j * 0 при L + J . Действительно, во зьм и К * L . J , и если П r j - 0 , то из ( г ) получаем . • , А , n = ( P K \J Pc v RK i ) Л ( Р к и P j и ы £ & ( а рк и pL) h ( с г рк и р / j * с гр к и (/>. n Р ;) = с г р к , что исключает выполнение условия ( I ) в силу открытости С/КРК . Предположим теперь, что G не является свободным проиведе- нием подгрупп ние вида тогда в & выполняется соотноше- где Пусть &»j,i • - ■ ■-V *,* при u t <и *>/ \А/ ' ' * rf ‘Ъименим преобразования, стоящие в С *) обеих частях равенства (** ), к непустому множеству Р = Ру П Pv^ - Имеем в силу ( 3 ) W P с \МР>ь * д , . . а а * * .* i P ( -/ C . . • с ЫР а к+i Лук . , с *> < ,/ • • • G другой стороны, а . Я Ч *// , ч - а последнее подмножество в силу CI) имеет пустое пересечение с ^к +1 ■ зана. Следовательно, равенство (4 ) невозможно, и теорема д ока- Эта тезрема усиливает метод, использованный в [ I I , избавляя от необходимости учитывать расположение граничных точек множеств Рс при проверке условия ( I ) . Для применений теоремы I к группе дробно-линейных преобра­ зований полезно Использовать свойства изометрической окружности яробно-линейиоро преобразования гд е а а —4 с - 1 » С Ф С . Эта окружность задается уравнением |СН +■ U \ - I . Обозначим вту окружность через А (£>) . Изометрическая окружнсыть обратного преобразования Л ( & ) имеет тот же радиус и симметрии- на A ( D ) относительно некоторой прямой L . Известно, что для нахождения образа Ъ Z любой точки X можно произвести инверсию точки Z относительно Окружности К ( 0 ) и симметрично отразить 1 55