АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

д а 512.5*1 Ю.А, ИГНАТОВ Тульский пединститут СЮГОДНЫЕ ГРУППЫ, ПОРОДНЕННЫЕ ТРЕМЯ ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫШ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ! Тройка комплексных чисел Ы , J 3 , ^ ) называется свободной,ес­ ли дробно-линейные преобразования расширенной комплексной плоскости A * = ( o f ) > Ъ > c r ~ ( f ~tY 4 * * ) свободно порождают свободную группу G (U , fi, Y ) . В 1976 г . Бахмут и Мочизуки [ 3 J показали, что тройка ( * , / * , У) является свободной, если U l , l/i\ , I Ц > М , где М- 4 ,4 5 . В 1976 г . В.И.Мерзляков [ 2 ] усилил этот результат, указав границу М= 3. В 1980 г . авто­ ром настоящей статьи f l ] для исследования этого вопроса предложен геометрический метод. Этод метод впервые в 1969 г . разработали Диндон и Ульман ГМ . использовав его для иссдедования аналогич­ ного вопроса о 2-порожденных группах.В Настоящей статье с помощью этого метода дается дальнейшее усиление опнсанйых результатов: к области значений свободных троей (и., р , У) добавляются два учас­ тка в верхней й нижней частях круга ) £ / < 3 , границы которых проходят через точки 2 i и - 2 С , Геометрический метод основан на следующей теореме. ТЕОРЕМА I.- Пусть Q, - некоторая группа непрерывных преобразований расширенной комплексной плоскости i l , порожденная своими подгруппами . . . , (Зи , . Пусть для каждой под­ группы (5^ существует в П непустое открытое подмножество Р(- , совпадающее с внутренностью своего' замыкания,такое, ч*о для каж­ дого элемента # ,-£ (3 ., с?,-#/ , выполняется условие \ р( п Pi = 0 . с» Если для всех t где R y есть nepeci есть свободное произведение своих подгрупп G , , ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Заметим сначала, что для любых Р{ и А - U R,-r S L , ечение-границ множеств У ( C D то группа G ' * <ХСРС <^ P j , * * * < * £ , *< • */ . О ) Действительно, из условий ( I ) и (2 ) следует