АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

хера С241 она изоморфна одной из следующих простых гр упп :’ P S U S , у ) , PSL ( 3 , р ) , PSL[(3, р г ) , St ( o ), P s U (S, 2 * J , % (2 ) 1 , * £ 4 ( 2 ) , М„ , ■?, . В силу ( 3 .1 ) и ( 3 .7 ) х <Q = IA i A u t ( L ) , где IG U I "г 1 (m o d 2 ) . Информация о централизаторах инволюций указанных групп со ­ держится в [ 2 4 ] , а порядки диагональных групп внешних автомор­ физмов даны В [2 0 , с . 8 ] . Использование утверждений ( 4 . 1 ) - ( 4 .1 0 ) и неравенства IQШ А 1 а / 8 / дает возможность исключить перечис­ ленные выше возможности для L . ( 4 . 1 3 ) . К ~ 0 , . < К ) Н к ( Р ) , где Р е S y V A J . d AC P ) = P ( e n / V l ( (P))^Modg(Pjt 0& , ( K ) H O f > ( K ) n B ) A° - группа не­ четного порядка, (р - 2 и ~ 0 <^( К) - элементарная нецикли­ ческая абелева у, -группа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По ( 4 .1 2 ) / . Допустим, что 0^.1 ( К ) - циклическая группа. По ( 2 .7 ) и ( 4 .1 2 ) т о г д а О^СЮ^В. Из ( 2 .6 ) и ( 4 .8 ) следует, что в этом случае К = А„В> и все ин­ волюции из К сопряжены при помощи А 0 . Эго противоречит ( 4 . 1 ) . Таким образом, 0(r, ( K ) ^ & * R - нециклическая группа. З д е с ь й ^ 0 ^.(К) - нециклическая. По тем же причинам R не содержит инволюции. Предположим, ч то у .= 2 . Из ( 2 .7 ) следует, что Q - ( Q П В ) А° и яв­ ляется элементарной абелевой группой или группой кватернионов. Так кая в се Инволюции из К сопряжены При помощи А 0 , то по ( 4 .1 ) получим Противоречие. ( 4 . 1 4 ) . Контрпримера к теореме I не сущ ествует, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из ( 4 .1 3 ) и ( 2 .4 ) следует, что £ имеет единственный класс сопряженных инволюций с представителем УбУдСР) (обозначения Введены в ( 4 .8 ) и ( 4 . 1 3 ) ) . Если У е в 0 , то V 6 Z (/0 , что противоречит ( 4 . 1 ) . ЗначИт, для С (еА 0 выполнено а ^ ~ а ^ В 0 , где целое число и s 0 ^ n e . Так как ~ а » то а * в о ' 1 » О • Так как у' не централизует нетривиальных элементов из А„ , то отсюда следует, что U - - t . Очевидно, что V Не централизует Q, . % с т ь у - элемент из Q * , инвертируемый V . Так как у - с г ' в а для подходящих (Хе А * и З ь В * по ( 4 .1 3 ) , то y ' , K ( a r 1 ) ' l# a v= a ~ , 6 ',ai . с другой стороны , а', * а ' ,в 0 для некоторого в о £ в 0 . Поэтому у '>= а 6 а ~1 , Отсюда а г 6 а~е = в '1 . Так Как А имеет нечетный порядок по ( 3 . 7 ) , то в - что противоречит его Выбору. Полученное противоречие з а ­ вершает доказательство теоремы I . Ш