АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

димые характеры 4J, = . i N > =* 1 N * *+> , что •+*, +■ имеет степень 0 , к е г Ч^г , * е г у, , к е г ^ > М и для любого &ё Н * Л//АА и Х вМ выполнено 4>с { * & ) * щ i f . f t ) ( с = 1 , 2 , 3 ) . Теперь непосредственно проверяется, что Q - *Хг*• 'Az - ^ исчезает на N\X> , Действительно, если у е М , то д исчезает на М , ибо S и . Если и ^e/V'Ni) , то у - 2-элемент и образ у при гомоморфизме Л'—*- // будет инволюцией V1 из Н . Таи как исчезает на инволюциях из Н , то 9 ( у ) = 0 . Таким об­ разом, применяя лемму 33 из [ 2 3 ] , получим, что множество всех инволюций из £ , не инвертирующих ни одного элемента из Х)^ , порождает истинную нормальную подгруппу группы Q . Из ( 3 .1 ) сле­ ду ет, что последняя либо единична (и тогда верно заключение ( 4 .Ц ) ) либо совпадает с X . В этом случае приведенное выше рассуждение с заменой Q на X и /И на НЛ 1 *(АЛ 1 ) ь в 0 приводит к противоре­ чию. ( 4 .1 2 ) . 8 П А * « /, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что & П А * * 1 . В силу ( 4 .1 0 ) является холловой подгруппой группы Q н Z(Q ) =SCG )^1 по ( 3 .2 ) и ( 1 . 2 ) . Поэтому Эволюция У е й 0 имеет разрешимый централиза­ тор Ъ=С а (\>)В>С л (\» 2 > к . Из ( 2 . 6 ) и ( 2 .7 ) следует, что для t * J i ( C A(V )) выполнено 0 t ,C S )= 0 ^ (S ) л V . Где V -ц и к л и ­ ческая 2 -Группа, содержащаяся в в и S (3)/VK(C 4 (Vi)- В СИЛУ ( 4 .1 0 ) 8 0 является 2-группой. Поэтому V = / и 3*О г ($)(Ся (У)\8о). Поэтому из ( 4 . I I ) следует, что элемент нечетного порядка, цент­ рализующий инволюцию сопряжен с элементом из А . Пусть М - 2-локальная подгруппа группы <? , содержащая не­ циклическую силоВскую р -подгруппу .Н . Из теоремы 6 .3 .1 6 В Г 5 } следует, что Oz (M )i^ C A X )lx g -H * > • Из сказанного Выше ясно, что существует у е / / * > сопряженный с элементом из А .Н е огра­ ничивая общности, можно считать, что у еА *П И . Так как А холлова T I -подгруппа группы Q И у ё А П Н * ! , То легко убедиться, что / / $ А . В .этом случае Ог (М )$Н и Потому является циклической группой. В частности, M iC q (V ) для инволюции V eB D, Из ( 2 .6 ) следует, что либо M&/V (И тогда сйлоВская 2-ПодгруП- па группы Q циклическая), либо СА(\!) - циклическая группа. Последнее противоречит выбору М . Таким образом ,все 2-ЩоКальные подгруппы группы Cj имеют лишь циклические силовсКИе р -под­ группы для нечетных р . То е с т ь , Я - тонкая группа. Так Как S ( Q ) * 1 , то X - простая неабелева группа и по теореме Ашба-