АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

Та* как К * ^ ( В 0 ) * С с ( в , ) по ( 4 - 6 ) » то QM 60 e S y ег ( £ ) . Из [1 7 3 следует, что l/U l) изоморфна P S h ( 5 ,q .) , P S U (3 , 9 г) ( у- н еч етно), А 7 , М„ или P S M ( 2 ,y ) . Из ( 3 . 2 ) , ( 4 .9 ) и ( 3 .1 ) следует, что a ( Q ) * /= S (Q ) . Из ( 3 .4 ) и ( 3 .5 ) следует, что списки кандидатур для -L можно оставить лишь Р 5 р (3 ,ц ,) ■ Pi>U '(St ц / ) и Мп . Группа М„ легко исключается с помощью информации о ее циклических подгруп­ пах и неравенства / ( f l i / A l * /&1 . Значит, можно считать, ч т о L*PSL(3<}) или P S u ( 3 , y * ) , причем J / iA u t ( l) и Q /L - группа нечетного порядка в силу ( 3 . 1 ) . Так как централизатор инволюции из 60 раз­ решим в силу ( 2 . 2 ) и минимальности контрпримера Q , т о у = 3 . Непосредственные вычисления в группах # £ ь (3 ,3 ) и PSU (, 3 ,3 ) при помощи неравенства Щ 1 *‘ 1 Ы г 1 в 1 позволяют исключить и эти случаи. ( 4 . I I ) . Если &Г>Л *4 1 * то все инволюции группы сопря­ жены между собой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Цусть D - множество всех тех элементов X из N , для которых Ох « х > '> + 1 . Так как А является 77 -под­ группой группы Q , то J ) является T I -подмножеством группы Q . Далее, если x = u v £ 3 ) , где и и v - инволюции из Q , то и инвер­ тирует элемент х и потому откуда ие-А/ , но то г­ да и 4 u * U ( u v ) u e h /, Так как Ох (<х>)и (< г> )* 1 , то vu eJ> , то есть 3) - исключительное множество ( Г 23 , с . 7 ® . Покажем, что найдется такая нормальная в А/ подгруппа /И , что А ЧМ »// - группа диэдра порядка <?/>, где p e j [ . В случае, когда /в 0 1 - 2 , эТо очевидно. Поэтому пусть / в 0 1> £ и в - обра­ зующий элемент группы в 0 .'Обозначим в г через £ . Если 0 $Ш * А ‘ С ^ с в 0) > то иэ следует, что силовская 2 - подгруппа группы Q аб ел ева. Последнее легко приводит к проти­ воречию. ' Значит, 3 -С $ (Н *С е(в а ). Из ( 2 .2 ) следует, что S -CA(t)BCA(i)> > K *A t BAn . Поэтому С а (Ь )+А 0 ^С а ( 6 ) • Так как СА( * ) - абелева группа, допустимая относительно t то 6 инвертирует не­ который элемент из CA( t ) , По теореме 5 . 2 .3 из Г53 A - £ A J J * СА ( i ) и CA( t ) = A 0 *CCA( O j 6 3 , причем 6 инвертирует любой элемент Иэ [C A( i h в ] . Отсюда следует существование такой М < А/ , для которой Н *А //М - группа диэдра порядка 2 р , г д е р ( Л ( в М войдет в качестве подгруппы < C A ,t l* А в> t > )• Группа Н имеет 2 линейных характера Ч>, , ^ - главный). Любой ее нелинейный характер имеет степень 2 и обращается О на инволюциях из Н . По лемме 23 из [ 2 3 J А/ имеет такИе неприво-