АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

выбору, ( 2 . 6 ) . Пусть С - разрешимая группа, в =С'*1) , где J iC O iJ i # £ Ф ) П Л - 0 и A i p e f y t ’jg (Q ) • Если 2 < JJ l , то (г имеет единичную Л -длину и Р = А (С Г )Р ). Если $ *Ox <(G)rft (A ) , то Ох‘ (Ц )--(Я П О ^ С Ц ))* и • Фи этом ^ ( Р ) / Р циклическая X ' -группа и Р - абелева метациклическая группа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из ( 1 .2 ) сл едует, что при доказательстве единичность Л -длины, не ограничивая общности, можно считать, что . Из ( 1 . 6 ) следует, что тогда либо A < lQ (и Q имеет единичную X -длину), либо Щ : Р ( $ ) ц 2 и A z F C Q ) . Так как Q - A 6 A , то в последнем случае имеем F(Q ) 8 *Q и FCQ) - абе­ лева метациклическая группа. Отсюда легко следует заключение о Л -длине группы Q . Грусть А ^ Р е З ^ (х С(т). По теореме Ф.Холла [ 5 , с . 2 3 1 ] С & Р * для подходящего Х еО ^ . (.$> . Кроме т о го , С Р П С ) * & Р * . Поэтому С ''сх еОл .((^ )П Р х = 1 для любого с е С . Отсюда Х е С ^ С Л Р )П 0 Х ' ( $ ) • Так как А достижима в Р , то Р * А (С П Р )А -А (С П Р ) и С - а Р х - А х ( С А Р ) . Поэтому С *(СПР )АХ для некоторой А ,£ А . Если А ,* 1 , то А,Ол . ( Q ) * Ах Ол ,(ц Из ( 1 .2 ) теперь следует, что Ь * О х ' Ф ^ ( А 1 )*Ох . ( $ Щ ( А ) . Если /4, =/ , то С~(САР) и (j * А ( С * Ъ ) 4 -P D P . причем (//>/, 1 Ы )~ 1 . Как и при доказательстве ( 2 . 3 ) , легко устано­ вить, что Ox .(Q ) ^(Of . ( t i ) n b ) p е(О л .(Ц )П Ъ )\ ( 2 . 7 ) . H = 0 ^ ,(Q ) - нильпотентная группа. Если г е Х ( Н ) и Q *P r ( Q ) - нециклическая группа, то U - центральное произве­ дение циклической группы и элементарной абелевой или экстраспеци- альной группы. Если A 9 n B ~ f , то Q * ( q r ) 8 )A - элементарная абе­ лева группа или группа кватернионов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ^ -Н А -А& А , где H - 0 X 2 Q ) и . Тогда f i M f * J 9 , где А ,<А и Ъ <Н . Понятно, что В ь - Н М У Н > и . В силу теоремы 5 . 3 . 2 . из СВ] группа А действует регулярно на P/PCQ-) . Отсюда и из теоремы Томпсона [ 5 , C .3 3 7 J следует нильпотентность Н . В силу ( 2 .3 ) Н ~ ( Р О в ) А , если А * П В = Г . Выясним строение (1~Ог (Н ) , где и Q - циклическая группа. Цусть Х=@А . Согласно ( 2 .3 ) Х=А(ХОВ)А и либо X flB ^Q , либо ХП 6 - ( В П В ) * А * , где 1 * A 0 i A , * ( Q • Е сл и . X flS ^ Q • то из ( 2 .3 ) следует, что Ц = (Х П 8 ) Л • фи помощи индукции легко показать, что либо й - элементарная абелева труп-