АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

§ 2 . ABA -группы с абелевой 77 -подгруппой /4 и циклической подгруппой В (общие свойства) На протяжении большей части параграфа (исключение - теорема ?) Q*A&A , где А - абелева 7 7 -подгруппа группы Q , в - цик­ лическая группа, B 0 *N a (A ). Везде предполагается, что G * А/ , В частности , очевидно следующее утверждение: ( 2 . 1 ) . Н -А \ В 0 , АП В - 1 и А - Р с - подгруппа группы Q , ( 2 . 2 ) . С^( 6 )--Сл ( 6 ) ВСЛ ( 6 ) для любого 6 е В 0 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а , 6 ,О г е Ся ( 6 ) . где а , , а г еА , 6 ,С 8 и 6 е 8 0 . Тогда ( а . ' а ? / 1 = а ,а е *еА . Если 6 , # И , то а , , а г е С А( 6 ) . Если , то а ,б ,а г = а б , , где а е С л 1 б) , что доказывает ( 2 . 2 ) . ( 2 . 3 ) . Если Q-'AB a и Х^А , то Х ‘ А(ХЧ 6 д А . Если и В ±М , то М - UВ и - 6 А » * atA ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Первая часть очевидна. % с т ь (т^МхА , £ *.М и t c M . Тогда i t - O . S a , , где а ,,( / г е А , 6 c B i M . Очевидно, что t •а.Ц г а 1 ' б а г . Так как а^' 6 а г е М , то 0 /,Цг = 1 . Отсюда б е В А . ( 2 . 4 ) . Пусть У - 0 .6 - инволюция из Q , а е А , f a б . H r i , то ^ g L \ ( B о ) - Если / а <s i (m o d г ) или A s g ( m o d i ) и \lGfi , то 6 - инволюция. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если У , то заключение ( 2 .4 ) очевидно справедливо. Пусть $ = . Тогда а б а С<(В0) и ( а ' 1 а ^ " ) в = а а ~ *° для любого в 0 еВ „ . Если и ' а 6 л 4 1 , то и .ъ б 4 г / получим противоречие. Значит, a ~ ‘a So = 1 и а е С щ ( 6 „). Отсюда У G С$ ( В 0) . ( 2 . 5 ) . Если А - нециклическая группа и 2 = г ( ( ( ) или г -Ол (В 0)£ 4 JQ ) * _то А г /2 является TJT -подгруппой группы G * Q / l и Q *A §A , где $ = . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что А является T I -Подгруппой •группы Q . Дусть напротив Л П А ^ * Р для Некоторого j}ei}\ dj(% ). .Тогда A i n ( A I ) x = ]> * I - для соответствующего з с с Q \ A/f (А ц ) . При этом из 1 > > 2 следует, что £ , где / Ф А , * А , Поэтому сь ( А ,)> < А ,А л , 2 > . Так кая (А ,)£ (А )^ А ' * то А * < А/ . Из цикличности N/А следует, что Ах ~ АА*/А также будет цикли­ ческой. Так как 0~j-L(В „)А *О л (А/) *А 1 и А П 1 -*1 , то Ojf(A/)^A*lk Очевидно, A x ^ O j;(N ) и Axf ) i - 1 . Из равен ства порядков А ХР и Ot (б ) следует, что Ax i -A Z , то есть x c K ^ ( A i ) вопреки его